這是變分 (calculus of variations)。
定義 F(y, y'; x) = y'^2 x^3，其中 y' = dy(x)/dx。
根據變分，F 須滿足 @F/@y = d(@F/@y')/dx，其中 @ 代表偏微分。
因為 @F/@y = 0，所以可知 @F/@y' = constant
--> 2 y' x^3 = constant
--> y' = constant/x^3
--> y(x) = c1/x^2 + c2，其中 c1 和 c2 是常數。
y(1) = 0 --> c1 + c2 = 0 --> c1 = -c2 = c
y(x) = c/x^2 - c
(a) y(2) = 3
--> c/4 - c = 3 --> c = -4
--> y(x) = -4/x^2 + 4
                    2
--> v(y(x)) =∫ y'^2 x^3 dx = 24
                    1
(b) y(a) lies on the curve y - 2/x^2 + 3 = 0
我不確定此題要如何做。
根據我手上的書，似乎是：
(i)
定義 h(x, y) = y - 2/x^2 + 3。
根據變分，F 須滿足
(F - y' @F/@y') @h/@y - @F/@y' @h/@x = 0 在 x = a
y' (y' x^3 + 8) = 0 在 x = a
(-2 c/a^3) (-2 c + 8) = 0
可得：
c = 0 --> y = 0 --> v = 0 或
c = 4 --> y = 4/x^2 - 4
                   a
--> v(y(x)) =∫ y'^2 x^3 dx = 32 (1 - 1/a^2)
                   1
但我不明白，為何不是：
(ii)
y(a) = c/a^2 - c = 2/a^2 - 3 --> c = (3 a^2 - 2)/(a^2 - 1)
y(x) = ((3 a^2 - 2)/(a^2 - 1))(1/x^2 - 1)
v(y(x)) = 2 (3 a^2 - 2)^2/(a^2 (a^2 - 1))
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