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挑戰112

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 07-10-7 17:36:45 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

國中
1.在由64個小方格組成的正方形國際象棋棋盤中，有多少個由整數個小方格組成的大小或位置不同的正方形?

2.證明:(27195^8)-(10887^8)+(10152^8)可被26460整除

3.解方成組
(x_1)+(x_2)+(x_3)=6
(x_2)+(x_3)+(x_4)=9
(x_3)+(x_4)+(x_5)=3
(x_4)+(x_5)+(x_6)=-3
(x_5)+(x_6)+(x_7)=-9
(x_6)+(x_7)+(x_8)=-6
(x_7)+(x_8)+(x_1)=-2
(x_8)+(x_1)+(x_2)=2

高中
1.證明:設a和b都是銳角，且a<b，則(tan a)/a<(tan b)/b

2.方程sin x=x/100有多少個根?

3.試找出所有這樣的三位數，它們都等於自已的數碼的階乘的和

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-10-9 10:36 PM 編輯 ]

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turnX

名望的騎士

2^#

發表於 07-10-7 22:47:39 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

2.方程sin x=x/100有多少個根?

畫圖觀察有相交者即是解
週期為PI
100/PI=31.8309886 表示有31個波峰起伏
所以解有 31+31+1=63
有63個交點

Ans:63個解

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M.N.M. 正解發表於 07-10-7 23:18 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

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一般的居民

3^#

發表於 07-10-7 23:29:13 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

3.試找出所有這樣的三位數，它們都等於自已的數碼的階乘的和

由於7!~9!超過1000且6!大於700
所以600以上的數全部都不成立
所以只剩下0!~5!
但是超過100的只有5!
而且剩下的0!~4! *3都不超過100
所以最大 5! *3=360
且最小 5! *1+ 1*2=122
也就是1xx要有1個5!
2xx以上就要有兩個5!
所以
1xx就會有1x5和15x
也就是121+x!
如果是15x，
x!就要是30~39
所以沒有
如果是1x5
x!就要是(x-2)*10加個位數
因此有145府何這個條件
2xx的話只有255
但是此數各位數階乘的和不同
3xx的話則是沒有任何數符合
所以符合這個條件只有145

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M.N.M. 正解發表於 07-10-9 22:31 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

turnX

名望的騎士

4^#

發表於 07-10-8 02:15:00 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

1.在由64個小方格組成的正方形國際象棋棋盤中，有多少個由整數個小方格組成的大小或位置不同的正方形?

不知有無算錯
我算 1^2+2^2+3^2+...+8^2=204

Ans:204個

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M.N.M. 正解發表於 07-10-9 22:32 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

cfc21

名望的居民

5^#

發表於 07-10-8 14:00:44 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

圖解算不算證明:)

1.證明:設a和b都是銳角，且a<b，則(tan a)/a<(tan b)/b
作y=tanx (0<x<Pi/2)之圖形，因為是遞增函數圖形，故連接O(0,0)、A(a,tana)與O(0,0)、B(b,tanb)，由斜率得知：
a<b → (tan a)/a<(tan b)/b:大笑

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M.N.M. 正解發表於 07-10-9 22:33 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

流刃如火

無名的鄉紳

6^#

發表於 07-10-9 16:43:31 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由M.N.M. 於 07-10-7 05:36 PM 發表
國中
3.解方成組
(x_1)+(x_2)+(x_3)=6
(x_2)+(x_3)+(x_4)=9
(x_3)+(x_4)+(x_5)=3
(x_4)+(x_5)+(x_6)=-3
(x_5)+(x_6)+(x_7)=-9
(x_6)+(x_7)+(x_8)=-6
(x_7)+(x_8)+(x_9)=-2
(x_8)+(x_9)+(x_10)=2

((偷懶一下...))
(x_1)+(x_2)+(x_3)=6.......(1)
(x_2)+(x_3)+(x_4)=9.......(2)
(x_3)+(x_4)+(x_5)=3.......(3)
(x_4)+(x_5)+(x_6)=-3......(4)
(x_5)+(x_6)+(x_7)=-9......(5)
(x_6)+(x_7)+(x_8)=-6......(6)
(x_7)+(x_8)+(x_9)=-2......(7)
(x_8)+(x_9)+(x_10)=2......(8)
分別用(2)-(1),(3)-(2)...(8)-(7)
會得到(x_4)~(x_10)的關係式:
(x_4)=(x_1)+3
(x_5)=(x_2)-6
(x_6)=(x_3)-6
(x_7)=(x_4)-6=(x_1)-3
(x_8)=(x_5)+3=(x_2)-3
(x_9)=(x_6)+4=(x_3)-2
(x_10)=(x_7)+4=(x_1)+1
如果把這些關係式帶回
會發現(2)~(8)均=(1)
所以只要符合(1)的解
帶入關係式就是其他的解了
-----------------------------------------------------------
打的好心虛...總覺得答案一定是錯的...= =
不過我問老師時...他說這題有10個未知數...8個式子...
所以沒有唯一解...

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appqq

一般的居民

7^#

發表於 07-10-23 13:20:21 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

3.解方成組
(x_1)+(x_2)+(x_3)=6
(x_2)+(x_3)+(x_4)=9
(x_3)+(x_4)+(x_5)=3
(x_4)+(x_5)+(x_6)=-3
(x_5)+(x_6)+(x_7)=-9
(x_6)+(x_7)+(x_8)=-6
(x_7)+(x_8)+(x_1)=-2
(x_8)+(x_1)+(x_2)=2

全部算是加起來之後會發現3(x_1)+3(x_2)+...+3(x_8)=0
所以(x_1)+(x_2)+...+(x_8)=0........q

全部的和q-(x_3)-(x_4)-(x_5)-(x_6)-(x_7)-(x_8)
就會變成(x_1)+(x_2)=0-3-(-6)=3.....r

r帶入第一組(x_1)+(x_2)+(x_3)=6
3+(x_3)=6
(x_3)=3

全部的和q-(x_2)-(x_3)-(x_4)-(x_5)-(x_6)-(x_7)
=(x_1)+(x_8)=0-9-(-9)=0

帶入最後一組之後會發現(x_2)=2
然後(x_1)=1
(x_8)=-1
剩下的式子因為會重覆上一個的其中兩個x
所以只要知道兩個連續的未知數之後
就可以知道剩下的
(x_1)=1
(x_2)=2
(x_3)=3
(x_4)=4
(x_5)=-4
(x_6)=-3
(x_7)=-2
(x_8)=-1

------------------------------------------------------------------------
打了覺得過意不去
因為樓上的人解錯題目(可能是版大當時出錯)
我記得也是到10個
這次到8之後就解的出來了
如果沒有出錯的話那他應該就解出答案了

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M.N.M. 正解發表於 07-10-24 18:19 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

turnX

名望的騎士

8^#

發表於 07-10-26 04:50:42 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

2.證明:(27195^8)-(10887^8)+(10152^8)可被26460整除

對26460做質因數分解 26460=2^2*3^3*5*7

2^2的mod測試
3^8-3^8+0^8=0
所以(27195^8)-(10887^8)+(10152^8)是2^2的倍數

同理對於3^3
其mod也為0

對於5和7也是mod為0

表示:(27195^8)-(10887^8)+(10152^8)是2^2,3^3,5,7這些數的倍數
所以(27195^8)-(10887^8)+(10152^8)可被26460整除

得證是也XD

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M.N.M. 正解發表於 07-10-28 22:07 聲望 + 2 枚 回覆一般留言

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