三個問題

[複製連結] 檢視: 1843|回覆: 2

yuwei1111

無名的居民

電梯直達

1^#

發表於 09-7-11 21:39:52 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

問題一:設P是質數,a與b是整數,如果[(a^p)-(b^p)]/p是整數,證明[(a^p)-(b^p)]/(p^2)也是整數問題二:設x,y,z是整數,如果(x^2)+(y^2)=(z^2),證明這三個數中必有一個是7個倍數問題三:證明對所有整數x與y,[(x^2)+(y^2)-3]/4不是整數希望有詳細過程,感謝解答者,謝謝

轉播0 分享0 收藏0

回覆使用道具檢舉

‧幻星〞

一般的鄉紳

2^#

發表於 09-7-11 23:19:19 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

原文由 yuwei1111 於 09-7-11 21:39 發表
問題一:設P是質數,a與b是整數,如果[(a^p)-(b^p)]/p是整數,證明[(a^p)-(b^p)]/(p^2)也是整數

由費馬小定理得a^p≡a (mod p), b^p≡b (mod p)
故可知a^p-b^p≡a-b=0 (mod p)
可設a=pt+k,b=pt'+k
又p≧2
且可發現(pt+k)^p和(pt'+k)^p除了k^p那項以外其他都是p^2的倍數
故a^p-b^p為p^2的倍數

原文由 yuwei1111 於 09-7-11 21:39 發表
問題二:設x,y,z是整數,如果(x^2)+(y^2)=(z^2),證明這三個數中必有一個是7個倍數

題目是否有誤?
3^2+4^2=5^2沒有7的倍數

原文由 yuwei1111 於 09-7-11 21:39 發表
問題三:證明對所有整數x與y,[(x^2)+(y^2)-3]/4不是整數

x^2≡0 or 1 (mod 4)
故x^2+y^2≡0,1,2都和3不同餘
故[(x^2)+(y^2)-3]/4不是整數

幾何寶庫ˇ我做的呢ˇ有興趣可以看看唷=)
http://ej0cl6.pixnet.net/blog

回覆使用道具檢舉

M.N.M.

名望的英雄

3^#

發表於 09-7-12 17:25:50 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

應該是x^3+y^3=z^3吧

設x，y，z必為7k，7k+1，7k+2，7k+3，7k+4，7k+5，7k+6 (其中k為整數)

               三方後除以7之餘數
7k                         0
7k+1                      1
7k+2                      1
7k+3                      6
7k+4                      1
7k+5                      6
7k+6                      6

x^3 y^3    z^3(x^3+y^3)
0       0       0    (o)
0       1       1    (o)
1       6       0    (o)
0       6       6    (o)
1       1       2    (x)
6       6       5    (x)

所以三個數中必有一個是7個倍數

[ 本文章最後由 M.N.M. 於 09-7-12 17:27 編輯 ]

遊戲直播

回覆使用道具檢舉

最後更新返回清單

帳號		自動登入	取回密碼
密碼			註冊