數論問題

scotten

設p為大於5的質數，試證：1+1/2+1/3+...+1/(p-1)的分子可以被p^2整除

scotten

(2)中有用到一些小小的定理:

wilson定理:當p是質數時, (p-1)! = -1 (mod p)

引理:2,....p-2中，每一個數r一定可以找到一個且唯一一個數s，使得 rs = 1 (mod p)
      1 = 1 (mod p)  ,p-1 = -1 (mod p)

scotten

我自己想出解法了
証明:
設1+1/2+...+1/(p-1)=a/b
則p^2|a <=> p^2|(p-1)!(a/b)

(1)
考慮 a/b= 1 + 1/2 +...+1/(p-1)
a/b=1/(p-1)+1/(p-2)+...+ 1
=>2a/b=p*sigma[1/k(p-k)] (k=1 to p-1)
只要證明p|(p-1)!sigma[1/k(p-k)] (k=1 to p-1) 原命題就成立

(2)
sigma[(p-1)!/k(p-k)] (k=1 to p-1)               
= sigma[((p-1)!)^2/k^2] (k=1 to p-1)
= sigma[((p-1)!/k)^2] (k=1 to p-1)
= sigma k^2 (k=1 to p-1)
= p(p-1)(2p+1)/6  (mod p)
若p>5,則p不整除6,有p|(p-1)!sigma[1/k(p-k)] (k=1 to p-1)

由(1)(2)知~~原命題就成立

M.N.M.

不能用數學歸納法的
因為p已經限制是質數了

hydralisk

我想用數學歸納法
不知道可不可以成功

M.N.M.

Wolstenholme’s theorem
用這個上網搜尋找吧
不是在下能應付的問題.....OTZ