挑戰26

M.N.M.

1.若a與b是正實數，且方程x^2+ax+2b=0和x^2+2bx+a=0各有實根，則a+b的最小值為何?

2.滿足聯立方程
ab+bc=44
ac+bc=23
求正整數組(a，b，c)有多少組?

3.對滿足(x-3)^2+(y-3)^2=6的所有實數對(x，y)，y/x的最大值為何?

M.N.M.

[解答]
1.因為兩方程解皆為實根，所以判別式均大於等於0
a^2-8b≧0，4(b^2)-4a≧0
=>a^2≧8b，b^2≧a

因此(a^2)(b^2)≧8ab
=>ab≧8

以上各式等號a^2=8b且b^2=a有最小值
解為a=4，b=2
4+2=6

2.kmeith已解出

3.設過原點且和已知圓相切的直線方程為y=mx
y=mx......(1)
(x-3)^2+(y-3)^2=6......(2)
(1)代入(2)=>(x-3)^2+(mx-3)^2=6
=>(m^2+1)x^2-6(m+1)x+12=0
因為直線與圓相切，所以方程式有等根，所以判別式等於0
36(m+1)^2-48(m^2+1)=0
=>m=3+2√2

kmeith

2.
ac+bc=23
c(a+b)=23
因為abc皆為正整數
所以c=1(若c=23時,a+b=1,但若abc皆為正整數,a+b>2,so c=23不合)
a+b=23
ab+b=44=b(a+1)=1*44=2*22=4*11=11*4=22*2=44*1
若b(a+1)=1*44,a+b=44,不合
若b(a+1)=2*22,a+b=23,a=21,b=2
若b(a+1)=4*11,a+b=14,不合
若b(a+1)=11*4,a+b=14,不合
若b(a+1)=22*2,a+b=23,a=1,b=22
若b(a+1)=44*1,a=0,不合

SO數對(a,b,c)=(21,2,1)或(1,22,1)共兩組

jackhsu978

2. ans: 2... (1,22,1) and (21,2,1)...