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1751年，歐拉以大寫字母M表示m階乘
M=1*2*3*...*m
1799年，魯非尼在他出版的方程論著 述中，則以小寫字母π表示m階乘，而在 1813年，高斯則以Π(n)來表示n階乘。而 用來表示n階乘的方法起源於英國，但仍未能確定始創人是誰。直至1827年，由於 雅萊特的建議而得到流行，現在有時也會 以這個符號作為階乘符號。
而最先提出階乘符號n!的人是克拉姆 (1808)，後來經過歐姆等人的提倡而流 行，直至現在仍然通用。
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這裡都是代數的部份
和階乘在代數部分比較有名的題型
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1!=1，2!=2，3!=6，4!=24，5!=120，6!=720，7!=5040
這幾個蠻常用的，背起來可加快計算速度
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階乘和的規律
1!=1
2!+1!=3
3!+2!+1!=9
4!+…+1!=33
5!+…+1!=153
6!+…+1!=873
7!+…+1!=5913
8!+…+1!=46233
9!+…+1!=409113
10!+…+1!=4037913
11!+…+1!=43954713
12!+…+1!=522956313
13!+…+1!=6749977113
14!+…+1!=93928268313
15!+…+1!=1401602636313
16!+…+1!=22324392524313
17!+…+1!=378011820620313
18!+…+1!=6780385526348313
19!+…+1!=128425485935180313
20!+…+1!=2561327494111820313
21!+…+1!=53652269665821320313
22!+…+1!=1177652997443431320313
23!+…+1!=27029669736328431320313
24!+…+1!=647478071469567431320313
25!+…+1!=16158688114800567431320313
相信各位都發現有神奇的規律吧
而有一種題目就是
例:1!+2!+3!+...+10!的十位數字為何？
由上列得知十位數為1
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分項消去法的問題
這是一種技巧法的問題
最常見的就是這樣的問題
1*1!+2*2!+3*3!+4*4!+5*5!=?
原式=(2-1)*1!+(3-1)*2!+(5-1)*4!+(6-1)*5!
=(2!-1!)+(3!-2!)+(5!-4!)+(6!-5!)
(最大和最小對消不了)
=6!-1!
=719
延伸
1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n!
=(2!-1!)+(3!-2!)+(5!-4!)+...+[(n+1)!-n!)
=(n+1)!-1
公式就出來了
進階
(91!*91+90!*90+........+2!*2+1!*1)/2002之餘數為何?
因為2002=2*7*11*13,
在 13! to 91! 的因子中都有這4個數.
所以(91!*91+90!*90+........+2!*2+1!*1)可被2002整除
所以(91!*91+...+2!*2+1!*1)/2002的餘數=(1!*1+2!*2+...+12!*12)/2002的餘數
1!*1+2!*2+...+12!*12=13!-1=13!+2001-2002(餘數無負值)
則(91!*91+...+2!*2+1!*1)/2002的餘數=2001
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尾數共有幾個0
1000!的尾數共有幾個0
要有0的話，必是2和5相乘的結果
不過1~1000中，一定2比5多
所以只要考慮有多少個5就能找出有多少個0
但是要注意
25可以拆成2個5,125可以拆成3個5，625可以拆成4個5
找個數的方法總是常出現多的，這時就可用高斯符號就不可用考慮多餘的
[1000/5]+[1000/25]+[1000/125]+[1000/625]
=200+40+8+1
=249
進階
2002!/[(1001!)^2]的末尾有幾個0?
此題是AMC的考古題
這題重點在多出0的末尾對消的問題和平方會使末尾的0變原來兩倍
先看2002!的
[2002/5]+[2002/25]+[2002/125]+[2002/625]
=400+80+16+3
=499
再來看(1001!)^2
[1001/5]+[1001/25]+[1001/125]+[1001/625]
=200+40+8+1
=249
所以(1001!)^2的末尾有249*2=498個0
相除時0會對消
所以499-498=1
所以2002!/[(1001!)^2]的末尾有1個0
再進階
試問使得n!的最後88位數字全是0的最小正整數n為何?
此題是要逆向思考
先從100!找
[100/5]+[100/25]=24
考慮200!
[200/5]+[200/25]+[200/125]=49
考慮300!
[300/5]+[300/25]+[300/125]=74
還差14個
考慮350!
[350/5]+[350/25]+[350/125]=86
差兩個
所以多一個5就是355
再多一個就是360，剛好88個5
所以n的最小值為360
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整除的問題
試問:7^n能整除2400!時,n的最大值為何?
此題7^n次方，n就是指有多少個7相乘
所以可以用高斯符號找有多少個7
[2400/7]+[2400/49]+[2400/343]
=342+48+6
=396
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這是程式跑出的小知識
加1之後會成為完全平方數的階乘目前知道有三個
4!+1=25=5^2=25
5!+1=121=11^2=121
7!+1=5041=71^2=5041
1個正整數其各位數字階乘和剛好等於自己本身，這樣的正整數只有四個
1=1!
2=2!
145=1!+4!+5!
40585＝4!+0!+5!+8!+5! (0!=1)
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二進階乘"n!!"
當n為奇數時
n!!=1*3*5*...*(n-2)*n
例:9!!=1*3*5*7*9
當n為0
n!!=0
當n為偶數
n!!=2*4*6*...*(n-2)*n
例:10!!=2*4*6*8*10
[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-23 07:24 PM 編輯 ]
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發表於 06-7-10 17:42:37
