挑戰39

M.N.M.

1.2x^4+y^4=4(x^2)y的整數解有幾組?

2.試求滿足2000^2+m^2=1999^2+n^2的整數對(m,n)

M.N.M.

原文由 大米龜 於 06-7-11 09:51 AM 發表
1.2x^4+y^4=4(x^2)y的整數解有幾組?

設x^2為z
2x^4+y^4=4(x^2)y
=>2z^2-4yz+y^4=0
=>z=4y加減根號(16y^2 - 8y^4)/4
=>z=y加減根號4y^2 - 2y^4
=>x^2=y加減根號4y^2 - 2 ...

在算式中，先算值域再求解會比較好

大米龜

2.試求滿足2000^2+m^2=1999^2+n^2的整數對(m,n)
m^2 - n^2 =-3999
(m+n)(m-n)=-3999=-3x1333=3x(-1333)
1.m-n=-3,m+n=1333 =>m=665,n=668
2.m-n=1333,m+n=-3 =>m=665,n=-668
3.m-n=3,m+n=-1333 =>m=-665,n=-668
4.m-n=-1333,m+n=3 =>m=-665,n=668
(m.n)=(665,668)或(665,-668)或(-665,-668)或(-665,668)或(正負1999,正負2000)

[ 本文最後由 大米龜 於 06-7-11 10:53 AM 編輯 ]

Katliang

2. 算出來了可是我有點笨~
2000^2+m^2 = 1999^2 + n^2
4000000+m^2= 3996001 + n^2
3999= n^2 - m^2
n=2000
m=1999

大米龜

1.2x^4+y^4=4(x^2)y的整數解有幾組?

設x^2為z
2x^4+y^4=4(x^2)y
=>2z^2-4yz+y^4=0
=>z=4y加減根號(16y^2 - 8y^4)/4
=>z=y加減根號4y^2 - 2y^4
=>x^2=y加減根號4y^2 - 2y^4

令y=0.x=0
令y=正負1.x=1加減根號2不合
令y=正負2.x=2加減根號-16不合
令y大於2,小於-2,x為虛數不合......

所以x=0,y=0................一組整數解