挑戰50

M.N.M.

1.設a、b、c、d都是質數，且a>3b>6c>12d，(a^2)-(b^2)+(c^2)-(d^2)=1749
求(a^2)+(b^2)+(c^2)+(d^2)的所有可能值

2.求所有正整數a，b使得(a，b)+9[a，b]+9(a+b)=7ab

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-8-20 04:29 PM 編輯 ]

傲月光希

第二題解法終於出現了，沒想到那麼簡單= =，沒想到這裡(囧

M.N.M.

原文由 迷糊小書僮 於 06-8-27 05:05 PM 發表
看到洋洋灑灑一大篇             我囧了

版大啊，當時你解這題解了多久啊

兩題加起來用不到一小時吧= =a

第一題只要知道c、d，後面就輕鬆了

第二題是靠解題經驗

這題假設方式在高一蠻常見的，而後面是不定方程的解題經驗

迷糊小書僮

看到洋洋灑灑一大篇             我囧了

版大啊，當時你解這題解了多久啊

M.N.M.

[解答]
1.神光已解出

在下的
由於4數都是質數，而且1749是奇數，所以必有一數是偶數，d為最小，所以d=2

6c>24
=>c≧5

a>3b
=>a≧3b+1

3b>6c
=>b≧2c+1

a^2-b^2+c^2
≧(3b+1)^2-b^2+c^2
=8b^2+6b+1-c^2
≧8(2c+1)^2+6(2c+1)+1+c^2
=33c^2+44c+15≦1753
=>5≦c<7
=>c=5

a^2-b^2=1728=(2^6)*(3^3)

b≧2c+1=11，a≧3b+1≧34
=>a+b≧45，a-b≧23

因為a、b皆奇數，所以a+b，a-b同為偶數

(a+b)(a-b)=(2^6)*(3^3)
=>a+b=54，a-b=32
=>a=43，b=11

a^2+b^2+c^2+d^2=1999


2.
設(a，b)=d，a=dh，b=dk，(h，k)=1，[a，b]=dhk
(a，b)+9[a，b]+9(a+b)=7ab
=>d+9dhk+9dh+9dk=7(d^2)hk
=>9+9[(1/h)+(1/k)]+(1/hk)=7d

9<7d≦9+9[(1/1)+(1/1)]+(1/1*1)=28
=>2≦d≦4

當d=2時
5hk-9(h+k)=1
=>25hk-45h-45k=5
=>(5h-9)(5k-9)=86=1*86=2*43
=>(h，k)=(2，19) or (19，2)(∵h、k為整數)
=>(a，b)=(4，38)，(38，4).......(1)

當d=3時
12hk-9(h+k)=1
=>36hk-27h-27k=3
=>[6h-(9/2)][6k-(9/2)]=3+(81/4)
=>(12h-9)(12k-9)=93=1*93=3*31
無整數解......(2)

當d=4時
19hk-9(h+k)=1
=>361hk-171h-171k=19
=>(19h-9)(19k-9)=100
∵h or k大於1時，左式>100
∴(h，k)=(1，1)
=>(a，b)=(4，4)......(3)

由(1)(2)(3)=>(a，b)=(4，38)，(38，4)，(4，4)

M.N.M.

原文由 xvmon123 於 06-8-20 06:05 PM 發表
求所有正整數a，b使得(a，b)+9+9(a+b)=7ab
又ab=(a，b)
設a=dh
   b=dk帶入
   所以(a，b)=d
        =dhk
    d+9dhk+9(dh+dk)=7ddhk
=>1+9hk+9h+9k=7dhk
整理得1=7dhk-9hk-9h ...

算式中別望了(h，k)=1
算到1+9hk+9h+9k=7dhk跟在下一樣呢

接下提示一件事好了，這題有最大值和最小值存在

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-8-26 02:13 PM 編輯 ]

迷糊小書僮

在等一下下吧
我要再試試看

傲月光希

第2題到現在還沒有解出來耶，M大是否要給個過程跟答案了= =?

xvmon123

求所有正整數a，b使得(a，b)+9[a，b]+9(a+b)=7ab
又ab=(a，b)[a，b]
設a=dh
   b=dk帶入
   所以(a，b)=d
        [a，b]=dhk
    d+9dhk+9(dh+dk)=7ddhk
=>1+9hk+9h+9k=7dhk
整理得1=7dhk-9hk-9h-9k
接下來要配對吧.......算到這裡又死了(默

xvmon123

求所有正整數a，b使得(a，b)+9[a，b]+9(a，b)=7ab
又ab=(a，b)[a，b]
設a=dh
   b=dk帶入
   所以(a，b)=d
        [a，b]=dhk
原式改為d+9dhk+9d=7ddhk
          =>1+9hk+9=7dhk
          =>10=hk(7d-9)
(7d-9)可能為1  2  5  10
(i)(7d-9)=1  不合
(ii)(7d-9)=2  不合
(iii)(7d-9)=5  d=2
(iiii)(7d-9)=10  不合

   (iii)當d=2   10=hk(7*2-9)=5hk
                  =>2=h*k
             1. h=1  k=2
                  帶回原設a=2  b=4
             2. h=2  k=1
                  帶回原設a=4  b=2

囧掉了.........想了超久的說

[ 本文最後由 xvmon123 於 06-8-20 05:57 PM 編輯 ]