2006 TRML

M.N.M.

http://59.124.78.164/modules/news/article.php?storyid=10

每一題詳解出來聲望+2，比較慢解出但做法不同還是一樣+2的

在下還沒全解出，一起努力吧

--------------------------------
格式:

XX賽 第X題

算式

例
個人賽 第2題
設log[size=-2]2 x=t t屬於R

原式= (12t-8)/(1+4t^2) =k
=>12t-8=k+4kt^2
=>4kt^2-12t+(k+8)=0
因為t為實數，所以D≧0
(-12)^2-4*(k+8)*4≧0
=>1≧k

所以當k=1為最大值

4t^2-12t+9=0
=>t=3/2，3/2

log[size=-2]2 x=3/2
=>x=a=2√2

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-8-22 05:16 PM 編輯 ]

太公望

之前那題函數值忘了*2所以寫錯了@@..

團體賽第6題
設X為角平分之一角
DB=cosX
作DK垂直AB(就是MBD.ABD.DCB的高)
則DK=cosXsinX
設BC=Y
面積相等
1/2*Y*2*sin2X=(Y+2)sinXcosX*1/2
4Y=Y+2 Y=2/3
(這題沒有圖好像不太好懂....)
團體賽第8題

α β>2
(α-2)(β-2)>0
αβ-2(α+β)+4>0
5-a+2a+4>0
a>-9
D>=0
a^2-4(5-a)>=0
a>=-2+2√6 or a<=-2-2√6
-9<a<=-2-2√6

團體賽第9題
sinX>cosY
x>=90-y
x+y>=90
x+y<=兀
cos(X+Y)-2sin(X+Y)=√5*sin(X+Y+N),sinN=1/√5,cosN=-2/√5
兀/2<N<兀,兀<x+y+N<2兀
當x+y=兀 原式=√5sin(N+兀)=-√5sinN=-1

剩的都不會寫.....大家加油吧!!

[ 本文最後由 太公望 於 06-9-6 07:46 PM 編輯 ]

傲月光希

原文由 太公望 於 06-9-2 04:28 PM 發表
個人賽第3回第I-5
2cotX=3cot(45-X)
2cosX/sinX=3(cos45cosX+sin45sinX/sin45cosX-cos45sinX)
2cosX/sinX=3(cosX+sinX/cosX-sinX)
2cosX^2-2sinXcosX=3cosXsinX+3sinX^2
2cosX^2-5sinXcosX-3sinX^2=0
(2cosX+sinX)*(cosX-3sinX)=0
cosX=3sinXor-1/2sinX
X<90
cosX=3sinX cotX=3
ABC=5*3/2=15/2

你答案錯掉囉，最好在檢查一下哪邊算錯
TRML的最下面都會有解答

太公望

個人賽第3回第I-5
2cotX=3cot(45-X)
2cosX/sinX=3(cos45cosX+sin45sinX/sin45cosX-cos45sinX)
2cosX/sinX=3(cosX+sinX/cosX-sinX)
2cosX^2-2sinXcosX=3cosXsinX+3sinX^2
2cosX^2-5sinXcosX-3sinX^2=0
(2cosX+sinX)*(cosX-3sinX)=0
cosX=3sinXor-1/2sinX
X<90
cosX=3sinX cotX=3
ABC=5*3/2=15/2

傲月光希

個人賽 第7題
Since y=(3x-10)(2x+11)=6x^2+13x-110,the circle passes through A(0,-110),B(10/3,0),C(-11/2,0).

First,the the perpendicular bisector(中垂線) of line AB must pass the center of the circle,so the x-coordinate of the middle point of line AB must be the same as that of the circle center.

(10/3,0)+(-11/2,0)
------------------ =(-13/12,0).
　　　　2
Second,we set the fourth point passed through by the circle on the y-axis D(0,a).

The the perpendicular bisector of line AD must pass through the center,too.So the y-coordinate of the middle point is also the same as that of the center point.

(0.a)+(0,-110)
-------------- =(0,(a-110)/2).
　　　2
Thus,we have the center point of the circle (-13/12,(a-110)/2).

Let the radius be r.Then r^2=(-13/12-10/3)^2+[(a-110)/2-0]^2=(-13/12-0)^2+[(a-110)/2+110]^2
=> 2*(-13/12)*(-10/3)+(10/3)^2=2*110*[(a-110)/2]+110^2
=> 65/9+100/9=110a-110^2+110^2
=> 110a=165/9
=> a=(165/9)*(1/110)=1/6

Therefore,the fourth point is (0,1/6).

傲月光希

團體賽 第3題
設大圓半徑R，小圓半徑r，則
__
OO'=R-r=r-R+5
=> R-r=5/2...(1)
　　　__
r^2=(OO')^2+(R-3)^2
(1)
＝> (R-5/2)^2=25/4+(9-6R+R^2)
=> 25/4-5R+R^2=25/4+9-6R+R^2
=> -5R=9-6R
=> R=9...(2)
(2)
＝>r=R-5/2=9-5/2=13/2

R+r=9+13/2=31/2

傲月光希

個人賽 第8題
a+b+c+d+e=8 => a+b+c+d=8-e
a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16 => a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2

Using Cauchy-Schwarz Inquivality,we have
(a^2+b^2+c^2+d^2)(1^2+1^2+1^2+1^2)≧(a+b+c+d)^2
=> (16-e^2)*4≧(8-e)^2
=> 64-4e^2≧64-16e+e^2
=> -16e+5e^2≦0
=> e(5e-16)≦0
=> 0≦e≦16/5

Thus,the sum of the maximum and minimum of e is 0+16/5=16/5.

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-8-27 09:43 AM 編輯 ]

傲月光希

個人賽 第6題
2006x+y=4xy(x^2+y^2)......(1)
2006x-y=2xy(x^2-y^2)......(2)
(1)+(2)
=> 4012x=2xy[2(x^2+y^2)+(x^2-y^2)]
　　　　　=2xy(3x^2+y^2)
=> 2006=y(3x^2+y^2)=3yx^2+y^3......(3)
(1)-(2)
=> 2y=2xy[2(x^2+y^2)-(x^2-y^2)]
　　　=2xy(x^2+3y^2)
=> 1=x(x^2+3y^2)=x^3+3xy^2......(4)
(3)-(4)
=> 2005=(y^3-x^3)+3yx^2-3xy^2
　　　　=(y^3-x^3)-3xy(y-x)
　　　　=(y-x)(x^2+xy+y^2)-3xy(y-x)
　　　　=(y-x)(x^2-2xy+y^2)
　　　　=(y-x)(x-y)^2
　　　　=-(x-y)^3
=> x-y=-(2005)^(1/3)

神光

原文由 M.N.M. 於 06-8-25 12:36 PM 發表

在圓周上有4點A、B、C、D
任一兩點連線，而兩線段有交點時使用的
例如
A(0,-110) , B(-11/2,0) , C(10/3,0)

設在Y軸上的另一點為D(0，a)

而BC與AC交於K� ...

Orz...
原來有這解法.
害我用圓方程解了大半天...

M.N.M.

原文由 傲月光希 於 06-8-25 11:46 AM 發表

圓內冪性質是啥，我不太懂(謎：其實是你笨吧)

在圓周上有4點A、B、C、D
任一兩點連線，而兩線段有交點時使用的
例如
A(0,-110) , B(-11/2,0) , C(10/3,0)

設在Y軸上的另一點為D(0，a)

而BC與AC交於K點

則BK*CK=AK*DK

而這題是剛好可用(0，0)做為交點算的