挑戰53

M.N.M.

1.三角形ABC中，∠C是直角，AC=3，BC=4，三角形ABD中，∠A是直角，AD=12，點C與點D在邊AB兩側，過D平行於AC的直線，與CB的延長線相交於E，如果DE/DB=M/N，M，N是互質的正整數，那麼M+N=?

2.滿足[(2^x)-4]^3+[(4^x)-2]^3=[(4^x)+(2^x)-6]^3的所有實數x的和是?

神光

原文由 M.N.M. 於 06-9-3 12:27 PM 發表
2.滿足[(2^x)-4]^3+[(4^x)-2]^3=[(4^x)+(2^x)-6]^3的所有實數x的和是?

設a=2^x . 那麼4^x=a^2 .
(a-4)^3+(a^2-2)^3=(a^2+a-6)^3
(a^2+a-6)[(a-4)^2-(a-4)(a^2-2)+(a^2-2)^2]-(a^2+a-6)^3=0
(a^2+a-6)[(a-4)^2-(a^2+a-6)^2-(a-4)(a^2-2)+(a^2-2)^2]=0
a^2+a-6=0 or (a^2+2a-10)(2-a^2)-(a-4)(a^2-2)+(a^2-2)^2=0
(a+3)(a-2)=0 or (a^2+2a-10)(a^2-2)+(a-4)(a^2-2)-(a^2-2)^2=0
a=-3 or a=2 or (a^2-2)[(a^2+2a-10)+(a-4)-(a^2-2)]=0
a=-3 or a=2 or a^2=2 or a=4
2^x=-3(rej.) or 2^x=2 or 4^x=2 or 2^x=4 [∵x是實數]
x=1 or x=1/2 or x=2
所以,所有實數x的和是1+1/2+2=7/2

傲月光希

2.滿足[(2^x)-4]^3+[(4^x)-2]^3=[(4^x)+(2^x)-6]^3的所有實數x的和是?

令A=(2^x)-4
則原式=>A^3+[(A+4)^2-2]^3=[(A+4)^2+(A-2)]^3
=>A^3+[A^2+8A+16-2]^3=[A^2+8A+16+A-2]^3
=>A^3+[A^2+8A+14]^3=(A^2+9A+14)^3
=>A^3+[(A^2+9A+14)-A]^3=(A^2+9A+14)^3
=>A^3+(A^2+9A+14)^3-3A(A^2+9A+14)^2+3(A^2)(A^2+9A+14)-A^3=(A^2+9A+14)^3
=>-3A(A^2+9A+14)^2+3(A^2)(A^2+9A+14)=0
=>-3A(A^2+9A+14)[(A^2+9A+14)-A]=0
=>-3A(A+7)(A+2)(A^2+8A+14)=0
=>A=0 or -7 or -2 or -4+√2 or -4-√2
=>(2^x)-4=0 or -7 or -2 or -4+√2 or -4-√2
=>2^x=4 or -3 or 2 or √2 or -√2(負不合)
=>x=2 or 1 or 1/2

因此2+1+1/2=7/2

M.N.M.

原文由 神光 於 06-9-3 04:49 PM 發表

延長AB至點F使得三角形ABC～三角形FBE

在三角形ABC中,
∠A=tan^-1(4/3)

在三角形FBE中,
∠E=tan^-1(4/3) (相似三角形的對應角)

在三角形DAF中,
tan∠E=4/ ...

∠A不等於∠CAB

以此類推

修正一下吧

傲月光希

1.三角形ABC中，∠C是直角，AC=3，BC=4，三角形ABD中，∠A是直角，AD=12，點C與點D在邊AB兩側，過D平行於AC的直線，與CB的延長線相交於E，如果DE/DB=M/N，M，N是互質的正整數，那麼M+N=?

依照你題目畫出來的三角形應該會長的像我附圖那樣吧= =

根據附圖，DE/DB=M/N=13sinγ/13=sinγ

sinα=3/5，cosα=4/5，sinβ=12/13，cosβ=5/13

sinγ=sin[π-(α+β)]=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(3/5)*(5/13)+(4/5)*(12/13)
=15/65+48/65=63/65
(63,65)=1

所以M+N=63+65=128

神光

原文由 M.N.M. 於 06-9-3 12:27 PM 發表
1.三角形ABC中，∠C是直角，AC=3，BC=4，三角形ABD中，∠A是直角，AD=12，點C與點D在邊AB兩側，過D平行於AC的直線，與CB的延長線相交於E，如果DE/DB=M/N，M，N是互質的正整數，那麼M+N=?

延長AB至點F使得三角形ABC～三角形FBE

在三角形ABC中,
∠CAB=tan^-1(4/3)

在三角形FBE中,
∠BFE=tan^-1(4/3) (相似三角形的對應角)

在三角形DAF中,
tan∠BFE=4/3
12/AE=4/3
AE=9
∴DF^2=144+81
   DF=15

在三角形FBE中,
BF/FE=5/3 (相似三角形的對應邊)
(AE-AB)/FE=5/3
FE=2.4

∴DE=15-2.4=12.6

DE/DB=M/N
M/N=12.6/13

∵M和N是互質的正整數,
∴M=63 , N=65. M+N=128

[ 本文最後由 神光 於 06-9-3 05:06 PM 編輯 ]