挑戰63

M.N.M.

1.求tan(pi/13) * tan(2pi/13) * tan(3pi/13) * tan(4pi/13) * tan(5pi/13) * tan(6pi/13)=?

2.以1為直徑作圓，求從圓上一點到直徑兩端點距離之和的最大值與最小值

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-11-12 10:12 PM 編輯 ]

M.N.M.

[解答]
(2)dn1841 & 幻星 已解出


(1)
設cos13x + isin13x = (cosx + isinx)^13

令 sinx = a，cosx = b
sin13x = 13b^12a - 286b^10a^3 + 1287b^8a^5 - 1716b^6a^7 + 715(b^4)(a^9) - 78(b^2)(a^11) + a^13
(巴斯卡三角形)

再令 tanx = c，且 sin13x = 0，上式等號兩邊同除以 b^13 得
c^13 - 78c^11 + 715c^9 - 1716c^7 + 1287c^5 - 286c^3 + 13c = 0

sin13x = 0 的根為 x = nπ/13 (n 為整數)
所以上述方程有 13 個根， c = 0，tan(π/13)，tan(2π/13)，......，tan(12π/13)......(共13個)

即 c^12 - 78c^10 + 715c^8 - 1716c^6 + 1287c^4 - 286c^2 + 13 = 0
有 12 個根，分別是 c = ±tan(π/13)，±tan(2π/13)，......，±tan(6π/13)
這 12 個根之積為 [tan(π/13)tan(2π/13)tan(3π/13)tan(4π/13)tan(5π/13)tan(6π/13)]^2 = 13
由於tan(π/13)>0 ，tan(2π/13)>0， tan(3π/13)>0 ，tan(4π/13)>0，tan(5π/13)>0，tan(6π/13)>0

所以 tan(π/13)tan(2π/13)tan(3π/13)tan(4π/13)tan(5π/13)tan(6π/13) = √13

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-11-25 10:12 AM 編輯 ]

meton

原文由M.N.M. 於 06-11-11 10:02 AM 發表
1.求tan(pi/13) * tan(2pi/13) * tan(3pi/13) * tan(4pi/13) * tan(5pi/13) * tan(6pi/13)=?

=tan(pi/13)×tan(2pi/13)×tan(16pi/13)×tan(4pi/13)×tan(-8pi/13)×tan(32pi/13)
分子×2^6cos(pi/13)=-sin(64pi/13)
分母×2^6sin(pi/13)=sin(64pi/13)

分子÷分母
=(-sin(64pi/13)×2^6sin(pi/13))÷(sin(64pi/13)×2^6cos(pi/13))
=-1×1×tan(pi/13)
=tan(12pi/13)

應該…沒錯吧?

‧幻星〞

dn1841

2.設圓上一點到直徑2端點距離為a.b且a^2+b^2=1{直角3角形}
柯西不等式(a^2+b^2(1^2+1^2)>=(a+b)^2
               (a+b)^2<=2
               (a+b)<=根號2
所以a+b的最大值為   根號2
              最小值為1[點為直徑2端點其中之1]