高一多項式問題

巨商

1.設k為自然數且x^2+(k-12)x+(k-1)=0 方程式根均為自然數 ,求k為多少

2.設f(x)為三次多項式方程式其為x^2+3的倍式,且f(0)=f(1)=6,則f(x)除以(x-2)餘式為多少

3.設多項式(x+1)^6除以x^2+1的餘式為ax+b,則a+b為多少

4.設a是自然數,方程式x^2+(a-12)x+(a-1)=0之二根都是自然數,求a值

麻煩各位大大了
謝謝!!

[ 本文最後由 巨商 於 07-1-13 02:37 PM 編輯 ]

~長江一號~

原文由M.N.M. 於 07-1-14 03:16 PM 發表
3.

(x+1)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1....(巴斯卡三角形)

(x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1) / (x^2+1)

=(x^2+1)(x^4+6x^3+14x^2+14x+1) - 8x

a=-8   b=0

a+b=-8

一般人只會背到一五十十五一
這題還可以這樣解:

(x+1)^6=[(x+1)^2]^3            (指數律)
           =(x^2+2x+1)^3

x^2+1=0     x^2=-1               (餘式定理)

(x^2+2x+1)^3  代入  x^2=-1
(-1+2x+1)^3=(2x)^3=8x^3

8x^3 / (x^2+1) =8x....-8   <=餘式

a+b=-8+0=-8

雖然說已經不是多項式的範圍(默

[ 本文最後由 ~長江一號~ 於 07-1-16 09:47 PM 編輯 ]

M.N.M.

1.設k為自然數且x^2+(k-12)x+(k-1)=0 方程式根均為自然數 ,求k為多少
k-1≠0
k≠1

k=2
x^2-10x+1=0(x)

k=3
x^2-9x+2=0(x)

k=4
x^2-8x+3=0(x)

k=5
x^2-7x+4=0(x)

k=6
x^2-6x+5=0
k=1，5

k=7
x^2-5x+6=0
k=2，3

k=8
x^2-4x+7=0(x)

可用判別式判斷皆下來都無實數解

所以k=6 or 7

4.同1.

2.
設f(x)=(ax+b)(x^2+3)

f(0)=b(0+3)=6 => b=2

f(1)=(a+2)(1+3)=6 => a=-1/2

f(x)=[(-1/2)x+2](x^2+3)

用餘式定理

f(2)=(-1+2)(4+3)=7

3.

(x+1)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1....(巴斯卡三角形)

(x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1) / (x^2+1)

=(x^2+1)(x^4+6x^3+14x^2+14x+1) - 8x

a=-8   b=0

a+b=-8