挑戰82

M.N.M.

1.媽媽贏得一筆獎金，並把所有獎金分給家中的所有小孩，她將100元和餘款的十分之一給老大；將200元和餘款的十分之一給老二；將300元和餘款的十分之一給老三，依照這樣的規律將獎金分給其餘的小孩。最後，媽媽發現每一位小孩都拿到相同的獎金，試問家中有幾位小孩子?

2.如果a,b,c,d,e,f,都是奇數,試問可否找到一組(a,b,c,d,e,f,)
使得 (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/e)+(1/f)=1 呢?不能的話請證明

神光

原文由M.N.M. 於 07-3-26 12:17 AM 發表
1.媽媽贏得一筆獎金，並把所有獎金分給家中的所有小孩，她將100元和餘款的十分之一給老大；將200元和餘款的十分之一給老二；將300元和餘款的十分之一給老三，依照這樣的規律將獎金分給其餘的小孩。最後，媽媽發現每一位小孩都拿 ...

設總獎金為x , 小孩數目為n.
這樣會得出兩條方程:

1) [(x-100)(1/10)+100]n=x ,
2) (x-100)(1/10)+100=[(x-100)(9/10)-200](1/10)+200

其中 (x-100)(1/10)+100 是老大的得到的獎金, [(x-100)(9/10)-200](1/10)+200 是老二的得到的獎金

由2)式解出x=8100
由1)式解出n=9

所以,共有9名小孩子.

cfc21

如果(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+(1/e)+(1/f)=1，則
bcdef+acdef+abdef+abcef+abcdf+abcde=abcdef
但5個奇數相乘是奇數，6個奇數相加是偶數，而6個奇數相乘是奇數，因此
左式=偶數，右式=奇數，故不相等，因此結論：
a,b,c,d,e,f,都是奇數,無法找到一組(a,b,c,d,e,f,)使得
(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+(1/e)+(1/f)=1

cfc21

總獎金8100元
9個小孩
每人均得900元
老大：100+8000*(1/10)=100+800=900
老二：200+7000*(1/10)=200+700=900
老三：300+6000*(1/10)=300+600=900
......
老八：800+1000*(1/10)=800+100=900
老九：900
OVER

解題靈感：
九九乘法表中
9*9=81
9*8=72
9*7=63
9*6=54
9*5=45
9*4=36
9*3=27
9*2=18
9*1= 9
十位數乘以(1/10)，再和各位數字求和都等於9，滿足題目條件。
亦即注意到「十位數字遞減1，而個位數字遞加1」。

[ 本文最後由 cfc21 於 07-3-26 12:30 PM 編輯 ]