挑戰84

M.N.M.

1.設a、b、c是絕對值小於1的實數，證明:
ab+bc+ca+1>0

2.證明柯西不等式:設a1,a2, ... , an,b1,b2, ... ,bn是實數則

Exception

第1題另解
ab+bc+ca+1=bc+1+[a(b+c)]≧bc+1-|a(b+c)|>bc+1-|b+c|>0
所以ab+bc+ca+1>0

細節：

(1)
因為-|x|≦x≦|x|
所以-|a(b+c)|≦a(b+c)

(2)
因為|a|<1
所以|a(b+c)|=|a||b+c|<|b+c|
-|a(b+c)|>-|b+c|

(3)
如果|y|<1,則-1<y<1
可推得y+1>0,1-y>0

(4)
由(3)
因為|b|<1,|c|<1
所以
(b+1)>0,(c+1)>0
(1-b)>0,(1-c)>0

(5)
因為|b|<1,|c|<1
所以|bc|=|b||c|<1
由(3)
可推得bc+1>0

(6)
因為
  (bc+1)^2-(b+c)^2
=(bc+1+b+c)(bc+1-b-c)
=(b+1)(c+1)(1-b)(1-c)>0
所以
|bc+1|>|b+c|

(7)
由(5),(6)
bc+1=|bc+1|>|b+c|
bc+1-|b+c|>0

Exception

令f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)
則f(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc

(1)
如果|y|<1,則-1<y<1
可推得y+1>0,1-y>0

(2)
因為|a|<1,|b|<1,|c|<1
所以有：
(a+1)>0,(b+1)>0,(c+1)>0
(1-a)>0,(1-b)>0,(1-c)>0

(3)
由(2)知：
(1-a)(1-b)(1-c)>0
f(1)=(1-a)(1-b)(1-c)>0
1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc>0

(4)
由(2)知：
(1+a)(1+b)(1+c)>0
f(-1)=(-1-a)(-1-b)(-1-c)=-(1+a)(1+b)(1+c)
-f(-1)=(1+a)(1+b)(1+c)>0
-[-1-(a+b+c)-(ab+bc+ca)-abc]>0
1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc>0

(5)
由(3),(4)之結論：
[1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc]+[1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc]>0
2+2(ab+bc+ca)>0
1+ab+bc+ca>0

傲月光希

柯西不等式的證明

設u=(a1,a2,...,an) v=(b1,b2,...,bn)
則(請看此篇我的回覆)
https://www.gamez.com.tw/viewthread.php?tid=345483

cfc21

設a1,a2, ... , an,b1,b2, ... ,bn是實數
證明如說明檔，參考一下！
http://163.32.74.12/cfc/20070419/20070419.html