挑戰89

M.N.M.

1.求最小的自然數n(>1)，使存在整數a1,a2,…,an，滿足
a1*a2*…*an= a1+a2+…+an=2006

2.若(1+x+px^2)^10之展開式，x^4項之係數為最小時，p之值為何?

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-5-5 05:14 PM 編輯 ]

‧幻星〞

第一題

2006第二大的因數為1003
和2006相差很多
故所求的a中一定要有2006n才會最小

剩下的a必為1和-1
所有a相乘為正數
故最少要要有2個-1
所有的a相加為2006
最少要有2個1

也就是最少要有五個數
-1,-1,1,1,2006

n最小為5

傲月光希

原文由M.N.M. 於 07-5-5 04:44 PM 發表
2.若(1+x+px^2)^10之展開式，x^4項之係數為最小時，p之值為何?

因為要湊成x^4的方式有兩個x^2跟一個x，一個x^2跟兩個x，四個x，由多項式定理
因此係數為45p^2+360p+210=15(3p^2+24p+14)=(令)f(p)
f(p)=15[3(p^2+8p)+14]=15[3(p+4)^2-34]
所以當p=-4時有最小值-15*34=-510