挑戰96

M.N.M.

1.a_0=2，a_1=5，(a_n+2)=3(a_n+1)-2(a_n)，n=1，2，...，求通項a_n

2.設數列{a_n}滿足a_1=1，(a_n+1)*(a_n)=4[(a_n+1)-1]，n=1，2，...，求(a_1)*(a_2)*...*(a_n)

turnX

原文由M.N.M. 於 07-6-3 12:51 AM 發表
2.設數列{a_n}滿足a_1=1，(a_n+1)*(a_n)=4，n=1，2，...，求(a_1)*(a_2)*...*(a_n)

先算前面幾項後利用觀察法

a1= 1/1
a2=4/(4-a1)
a3=(16-4a1)/(12-4a1)
a4=(48-16a1)/(32-12a1)
a5=(128-48a1)/(80-32a1)

於是觀察後發現
c1=1
c2=1*2+2^(2-1)=4
c3=4*2+2^(3-1)=12
c4=12*2+2^(4-1)=16......

得c_n=c_n-1*2+2^(n-1)
解遞迴式得 c_n=n*2^(n-1)

又(a_1)*(a_2)*...*(a_n)=(4^(n-1))/(c_n-c_n-1)=.....(經過整理)
=(2^n)/(n+1)

所以 (a_1)*(a_2)*...*(a_n)=(2^n)/(n+1)

[ 本文最後由 turnX 於 07-6-6 02:12 AM 編輯 ]

turnX

原文由M.N.M. 於 07-6-3 12:51 AM 發表
1.a_0=2，a_1=5，(a_n+2)=3(a_n+1)-2(a_n)，n=1，2，...，求通項a_n

利用特徵多項式來解遞迴

a^2-3a+2=0 a=2,1
所以a_n=A*2^n+B
a_0=2=A+B----(1)
a_1=5=2A+B---(2)
(2)-(1)=> A=3,B=-1

所以 a_n=3*(2^n)-1