暑假挑戰50

M.N.M.

此主題活動結束

將回復成一般挑戰題

解一題+2而已

至於獎勵會盡快出來

未解完的解答會慢慢補上

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這是總結算時
加算的↓
第一名鐵幣2000，聲望+100
第二名鐵幣1000，聲望+50
第三名鐵幣500，聲望+25
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有疑問請到
https://www.gamez.com.tw/thread-294715-1-1.html
發問
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1.求所有形如(n^n)+1且不超過10^19的質數，這裏的n為正整數


2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積


3.試求下列聯立方程組的實數解
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7
(1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7


4.將3^11表示成k個連續正整數的和。試求項數k的最大值


5.一盒錄影帶可錄製2集電視劇加1個小品，一般地，或著錄製2個小品加3首流行歌曲，某同學準備錄製7集電視劇，11個小品和20首流行歌曲，他最少需要多少盒
錄影帶才可能錄製完所有節目?(註:每集電視劇的時間相等，每集小品時間相等，
每首歌曲的時間相等，且每集小品的時間大於每首歌曲的時間)


6.環形跑道周長500米，甲、乙兩人按順時針沿環形跑道同時、同地起跑，甲每分鐘跑60米，乙每分鐘跑50米，甲、乙兩人每跑200米均要停下來休息1分鐘，那麼甲首次追上乙需花多少分鐘?後又追上乙時距起跑時間需多少分鐘?


7.如圖(活動-7)，S1和S2是直角三角形ABC的兩個內接正方形，已知S1的面積為441，S2的面積為440，求:AC+BC之值


8.已知函數f(x)對於任意實數x，都有
f(x)=f(398-x)=f(2158-x)=f(3214-x)
問:函數值列f(0)，f(1)，f(2)，...，f(999)中最多有多少個不同值?


9.在小於10^4的正整數中，有多少個正整數n，使(2^n)-(n^2)被7整除


10.現有21個車站，n家客運公司，若每家客運公司都在5個車站兩兩之間經營客運路線，且每個車站之間都至少有一直達路線，則客運公司至少需要幾家？


11.有一數列:1/1，1/2，2/2，1/3，2/3，3/3，1/4，2/4，3/4，4/4，...。設其前n項之和為Sn，試求:lim(n→∞) (Sn)/n=?


12.設數列<a_n>，其中a_n表最接近√a_n之正整數值，試求Σ(n=1~2003) a_n=?


13某個將軍有1000個武士，任何兩名武士或者互為朋友、或者互為敵人、或者互不相識，而且武士之間只和朋友說話。已知：對於每個武士而言，他的任何兩個朋友都互為敵人，而他的任何兩個敵人都互為朋友。若將軍要使所有武士都知道一項新命令，則將軍至少要通知多少名武士？


14.在Rt△CAB中，∠A=pi/2，∠B，∠C的平分線相交於F，且分別交對邊於D、E。求四邊形BCDE的面積:△BFC的面積=?


15.有一個正整數的所有正因數和為3240，且所有正因數的倒數和為1620/1003，則此數為何？


16.解數謎(圖見活動-16)，求被除數


17.用數字1、2、3、4、5可排列出120個不同的五位數(數字不重複)。將它們由小到大依序排列，則第一個數是12345，第二個數是12354，...，第一百二十個數是54321。請問第80個數是什麼?


18.有一個英文單字由5個字母組成，如果將26個英文字母a，b，c，...，y，z按順序對應0到25這26個整數，那麼這個單字中的5個字母對應的整數按從左到右的順序分別為x_1，x_2，x_3，x_4，x_5。已知(x_1)+3(x_2)，4(x_2)，(x_3)+2(x_4)，5(x_4)，6(x_4)+(x_5)除以26所得的餘數分別為15，6，20，9，9。則該英文單字為何?


19.在一條直線上有2n個點，相鄰兩個點間距離為1，某人從第一個點開始跳到其他點，跳了2n次後回到第1個點，這2n次跳躍將這2n個點全部都到達了，問怎樣跳才能使他的路程最遠?


20.m個互不相同的正偶數和n個互不相同的正奇數總和為1987。對於所有這樣的
m，n求3m+4n的最大值


21.有十張正面與反面都寫上一個正整數的卡片，這十張卡片上面的20個正整
數都不同，每張卡片的正反兩面上的數之和=t都相等，且所有十張卡片正面之
數的總和等於所有十張卡片反面之數的總和。若其中九張卡片正面之數分別
為2,5,17,21,24,31,35,36,42,試問第十張卡片正面的數=x為多少？


22.(133^5)+(110^5)+(84^5)+(27^5)=n^5,求n之值?
SOL:
顯然n>133，n^5<133^5+110^5+(84+27)^5<3*133^5<(5/4)^5 *133^5
n<1.25*133
166≧n

任意整數與它的5次方冪的個位數相同
因此n可能為134，144，154，164

133≡1(mod3)，110≡2(mod3)，84≡0(mod3)，27≡0(mod3)
n^5≡1^5+2^5≡0(mod3)

164≡2(mod3)，154≡1(mod3)，144≡0(mod3)，134≡2(mod3)

所以n=144


23.求最小正整數n，使得十進制表示下n^3的末三位數是888


24.求最小正整數n，使得存在整數x_1，x_2，...，x_n，滿足
(x_1)^4 +(x_2)^4 +...+(x_n)^4=1599


25.已知三角形ABC的三高h_a=6，h_b=4，h_c=3，求三角形ABC的面積


26.求方程(2^x)+(3^x)-(4^x)+(6^x)-(9^x)=1的實數解


27.求解
x+y+z=1
(x^2)+(y^2)+(z^2)=131
(x^3)+(y^3)+(z^3)=385


28.在一圓盤內，用一些小的圓盤排成正六邊形的圖形(如活動-28)。當小圓盤的半徑趨近於0時，小圓盤的面積之和與大圓盤的面積的比值是多少?


29.在平面上給定5個點。已知連接這些點的直線互不垂直，互不重合，也不平行。通過每一點向其餘4點的各條連線作垂線，這些垂線的交點最多有多少個?(不包括原來的5個點)


30.已知f(x)=a(x^2)+bx+c在[0，1]上的函數值的絕對值不超過1，求│a│+│b│+│c│的最大值


31.函數f定義在有序正整數對的集合上，且滿足下列性質:
(1)f(x，y)=x
(2)f(x，y)=f(y，x)
(3)(x+y)f(x，y)=yf(x，x+y)
求f(14，52)=?


32.分解因式:[(b-c)^6]+[(c-a)^6]+[(a-b)^6]-9[(a-b)^2][(b-c)^2][(c-a)^2]-2[(a-b)^3]
[(a-c)^3]-2[(b-c)^3][(b-a)^3]-2[(c-a)^3][(c-b)^3]


33.設想地球是一個半徑為R(=6400千米)的球，從南極至北極打一條隧道，長為2h。求地球剩下部份的體積

SOL

設一個與洞口平行的平面，設它到球心距離d，則外圓半徑平方為R^2-d^2，內圓半徑為R^2-h^2

得知面積為pi(h^2-d^2)，這平面與半徑為h的環相截得到一個圓，面積相等

由祖氏定理得知，地球剩下部份的體積為(4/3)pi(h^3)


34.三角形ABC，AB=5，BC=3，AC=19^(1/2)，P為內部一點，求
PA+PB+PC之最小值


35.正方形ABCD(邊長=8)中，F是CD邊上的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE，求AE=?


36.試確定[(2^1/2)+(3^1/2)]^2004小數點前一位數字和後一位數字


37.設x∈R，x≠n*pi，n∈Z，求3(sin x)^2+5(csc x)^2的最小值


38.求方程(x^2)+x=(y^4)+(y^3)+(y^2)+y的整數解


39.求(x^4)+(y^4)+(z^4)=2(x^2)(y^2)+2(y^2)(z^2)+2(z^2)(x^2)+24的整數解


40.設m，n為正整數，且n>1，求│(2^m)-(5^n)│的最小值


41.圓內接四邊形ABCD的四邊長AB，BC，CD，DA的長均為正整數，DA=2005，
∠ABC=∠ADC=pi/2，且max{AB，BC，CD}<2005。求四邊形ABCD的周長的最大值與最小值


42.在1~2004中，有多少個整數可表示為[2x]+[4x]+[6x]的形式，這裏x為實數


43.求所有非負整數x、y、z，使得(2^x)+(3^y)=z^2


44.試求出所有的正整數a、b、c，其中1<a<b<c，且使得(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因數


45.求所有的正整數a、b、c，使得(a^2)+1和(b^2)+1都是質數，且滿足[(a^2)+1][(b^2)+1]=(c^2)+1


46.在已知弓形內，求一內接矩形(兩頂點在圓弧上，一邊在弦上)，使其面積最大


47.設f:N_0→N_0(非負整數集)，且對所有m、n∈N_0，有f(m+n)-f(m)-f(n)=0 或1，又設f(2)=0，f(3)>0，f(9999)=3333，求f(1982)


48.若x，y，z是各不相同的自然數，a也是自然數，且滿足條件(1/x)+(1/y)+(1/z)=(1/a)
試求x，y，z，a


49.從1開始，依自然數的順序寫:
12345678910111213...22212222，
一直寫到2222，試問共寫了多少個0?


50.求所有正整數m，n，使得不等式
[(m+n)a]+[(m+n)b]≧[ma]+[mb]+[n(a+b)]
對任意實數a，b都成立。這裡[x]表示實數x的整數部份

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-12-17 08:06 PM 編輯 ]

appqq

23.
假設n是百位數a+十位數b+個位數c
也就是n^3=(a+b+c)^3
(a+b+c)^3=
a^3+3a^2b+3a^c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc+c^3
因為a是百位數b是十位數c是個位數
所以每一項只管會影響到末三位數的地方
所以只剩下3ac^2+3b^2c+3bc^2+c^3
所以個位數c^3=8,c=2
之後剩下的還有
3ac^2+3b^2c+3bc^2
c帶入2
12a+6b^2+12b
b=40或90第二位數才會等於8
所以a有兩種可能
12a+9600+480--->12a+10080...........1
12a+48600+1080--->12a+49680..........2
所以a=400或100
因此a=100,b=90時n最小
所以n最小會是192

35.
邊長8的正方形ABCD且F為DC之中點
E在BC之間且角DAF=FAE
所以DAF是一個1:2:5^(1/2)的三角形
用三角函數
8[csc(2tan^-1(1/2)]=10
所以EA為10

[ 本文最後由 appqq 於 07-9-6 02:30 AM 編輯 ]

appqq

17.P(5,5)=5!=120
120/5=24
15432.......24
25431.......48
35421.......72
41235........73

24/4=6
42135......79
42315......80

21.
2  5  17  21  24  31  25  26 42  37.........213+x

10t-213-x=213+x
10t-2x=426
x<t
所以
42.6<x<53.25
但因為x是整數
所以
43<x<53
而且上面數列裡面任兩數加起來不可以=x
所以x=50
第十張牌的正面數x=50

appqq

3.
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7 --->x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7=y^7......a
(1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7 --->y+y^2+y^3+y^4+y^5+y^6+y^7=x^7......b
a-b=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+2x^7=y+y^2+y^3+y^4+y^5+y^6+2y^7
y=x
把y=x帶入第1式
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+x^7
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6=0
x=y=0或-1

26.2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1
    2^x(1-2^x)+3^x(1-3^x)+6^x=1
x=0

appqq

25.
同三角型面積會一樣
所以
3*4x=6*2x=4*3x
得知底邊比4:2:3
餘旋定理
c^2=a^2+b^2-2bc cosy
y=cos^-1((a^2+b^2-c^2)/(2bc))
cos^-1((16+9-4)/24)
得知底4和3的夾角角度cos^-1(21/24)
所以面積就是4*sec(cos^-1(21/24))*3/2=5.81818181....
面積約5.81單位平方

28.
19個小圓面積是19x^2pi
大圓面積是25x^2pi
所以當小圓的半就趨近於0時面積比值是
lim(x→0)(19x^2pi)/(25x^2pi)
=lim(x→0)19/25
=19/25
所以面積比值是19/25

appqq

11.
  (1/1+1/2+2/2+.....)/n
=(1+1/2+1+1/3+2/3+1+...)/n
=(1+1.5+2+2.5...)/n
設n=1+2+3...+a
    =(a+1)a/2
   2n=a^2+a
   a^2+a-2n=0
   a=[-1+(1+8n)^(1/2)]/2
所以(1/1+1/2+2/2....)/n
    ={{[1+1+0.5(a-1)]a}/2}/n
    =[(1.5a+0.5a^2)/2]n
    =(1.5a+0.5a^2)/2n
    =(3a+0.5a^2)/4n
把a帶回[-1+(1+8n)^(1/2)]/2
    {3[-1+(1+8n)^(1/2)]/2+{[-1+(1+8n)^(1/2)]/2}^2}/4n
    ={[-3+3(1+8n)^(1/2)]/2+[1-2(1+8n)^(1/2)+1+8n]/4}/4n
    ={[-6+6(1+8n)^(1/2)]+[1-2(1+8n)^(1/2)+1+8n]}/16n
    =[-4+(1+8n)^(1/2)+8n]/16n
    lim(n→∞)  [-4+(1+8n)^(1/2)+8n]/16n
    =lim(n→∞) -4/16n +lim(n→∞) [(1+8n)^(1/2)/8n] +lim(n→∞) 8n/16n
    =0+0+1/2=1/2
    所以lim(n→∞) (Sn)/n=1/2
13.
  由於題目的要求所以同時有三個以上的朋友或敵人會造成矛盾
  所以一人最多認識兩個朋友和兩個敵人
  就如下圖
  
  此圖每個人都有兩個朋友和兩個敵人而且五人之間的關係也沒有造成任何衝突
  因此五個人一組
  將軍只要告訴1000/5=200個武士就可以讓全部武士都知道命令

[ 本文最後由 appqq 於 07-8-20 11:37 AM 編輯 ]

appqq

2.


由於等底同高的關係
三角形ADE 和 BDE 底長度比是4:3
同理三角形AEB和它右邊的面積是35的小三角形的底邊比是2:1
這時用二次方程式
(x+40+84)/4=(y+35+30)/3     --------1.
3x+372=4y+260

(84+x)/2=y                         --------2.
84+x=2y
168+2x=4y

2.帶入1.
3x+372=168+2x+260
x=56
y=70
左邊小塊的三角形是56右邊的是70




16.由於第16題的圖沒辦法直接貼上，請到下面的連結
http://img171.imagevenue.com/img.php?image=56234_1225-16A_122_481lo.JPG

[ 本文最後由 appqq 於 07-8-20 11:39 AM 編輯 ]

appqq

1.因為n^n+1是質數
    所以n會是偶數或1
   最接近10^19的n^n的偶數是14^2
   所以n=1,2,4,6,8,10,12,14
4.假設a是k個連續整數中的第一個數
k個連續整數的和=(a+a+k-1)k/2=(2a+k-1)/2
k個連續整數要=3^11
所以(2a+k-1)k/2=3^11
(2a+k-1)k=2*3^11
因此k和2a+k-1要是整數且相乘要=2*3^11
而且a是正整數
由此式可以看出
當k越大時(2a+k-1)會變小
但是(2a+k-1)要大於k a才會是正數
所以k的最大值是2*3^5

[ 本文最後由 appqq 於 07-8-23 06:42 AM 編輯 ]

~冠~

48回國後再修正,應該是有漏解,不過照此來看應該不可能如板大所說只有6組解~
3.
由原式可輕易得: x^6+x^5+...+x+y^6+y^5+...+y=0
=>(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)x+.....=0
(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)x+(y+1)(y^2+y+1)(y^2-y+1)y=0
由於(x^2+x+1)和(x^2-x+1)恆正
所以當x在0和-1之間，(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)x為負的
反之為正的
若x不為0或-1，則x和y有一數介在0和-1
設0>x>-1 則y>0或y<-1
1+x^7=(1+y)(1+y^2)(1+y^4)
1>1+x^7>0
因(1+y^2)(1+y^4)>1
故0<1+y<1
0>y>-1 -><-
故答案僅有(0,0),(-1,-1)

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-7-20 11:49 PM 編輯 ]

~冠~

48,
Assume that the greatest common divisor of x,y,z,a is 1.
Let gcd(x,y,z)=d, so that x=dm, y=dn, z=dk
So, the original equation became
a(mn+nk+mk)=dmnk,
Because gcd(x,y,z,a)=1,
So a=mnk, d=mn+nk+mk.
We can have x=m(mn+nk+mk), y=n(mn+nk+mk), z=k(mn+nk+mk), and a=mnk
(gcd(m,n,k)=1)
Hence, all the solutions of the equation are
x=tm(mn+nk+mk), y=tn(mn+nk+mk), z=tk(mn+nk+mk), a=tmnk
(t,m,n,k>0)