國際競賽題1

~冠~

國際競賽題系列我會收集各種不同國際級競賽的題目,也會做分類.及難度自評(滿級6顆星)
可以挑自己的強項解. (不定期公佈解答)

1.難度:☆☆ (數論)
m,n為正整數,證明:(36m+n)(36n+m)不可能為2的正整數次方.

2.難度:☆☆☆☆ (幾何)
設兩圓O1及O2相交於點P與Q.兩圓較靠近P點的外公切線在圓O1及O2上的切點分別為A與B.
圓O1過P點的切線與圓O2交於另一點C,而AP的延長線交BC於點R.試證:直線BP及BR都與三角形PQR的外切圓相切.

3.難度:☆ (不等式)
證明:x^3/yz+y^3/xz+z^3/xy>=x+y+z (其中x,y,z屬於R+) 並找出等號成立的充要條件.

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-8-9 08:30 AM 編輯 ]

M.N.M.

3.設x^3≧y^3≧z^3，1/yz≧1/zx≧1/xy

根據排序不等式

(x^3)*(1/yz)+(y^3)*(1/zx)+(z^3)*(1/xy)≧(x^3)*(x^-2)+(y^3)(y^-2)+(z^3)(z^-2)

x^3/yz+y^3/xz+z^3/xy≧x+y+z

‧幻星〞

3.難度:☆ (不等式)
證明:x^3/yz+y^3/xz+z^3/xy≧x+y+z (其中x,y,z屬於R+) 並找出等號成立的充要條件.

設x≧y≧z
x^3/yz+y^3/xz+z^3/xy-x-y-z=1/(xyz)*(x^4+y^4+z^4-x^2yz-xy^2z-xyz^2)
由排序不等式得x^4+y^4+z^4≧x^2yz+xy^2z+xyz^2
即x^3/yz+y^3/xz+z^3/xy-x-y-z≧0
→x^3/yz+y^3/xz+z^3/xy≧x+y+z
得證

x=y=z時等式成立

M.N.M.

1.若(36m+n)(36n+m)為2的正整數次方

因為n與m可輪換

所以可設n≤m，且n為最小值

36m+n與36n+m皆為2的次方

將m與n皆除以4

得到n/2與m/2是組更小的解

但n/2<n與n為最小值矛盾

所以(36m+n)(36n+m)不可能為2的正整數次方.