挑戰109

M.N.M.

為了給其他人機會，一人最多兩題

國中
1.把(a-b)√(b-a)中根號外的因式移到根號內，其結果為?

2.是比較(√10)+(√14)與(√11)+(√13)的大小

3.設A=[√(a+1)]-(√a)，B=(√a)-[√(a-1)]，則A、B中數值較大的一個為何

高中
1.若a>0、b>0且(√a)[(√a)+(√b)]=3(√b)[(√a)+5(√b)]，求[2a+3b+(√ab)]/[a-b+√ab)]=?

2.已知√2008=(√x)+(√y)，且x、y均為正整數，求x、y的所有解?

3.圓O外接於正方形ABCD，P為AD弧上任意點，求證:(PA+PC)/PB為定值

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-9-7 03:08 PM 編輯 ]

turnX

2.是比較(√10)+(√14)與(√11)+(√13)的大小

另解

令f(x)=√x根據函數圖形        df(x)/dx 會漸減
因此我們知道(√14-√13)/(14-13) < (√11-√10)/(11-10)
(√10)+(√14)<(√11)+(√13)

所以(√11)+(√13)會比較大
以上是從函數圖形分析的一種方式

3.設A=[√(a+1)]-(√a)，B=(√a)-[√(a-1)]，則A、B中數值較大的一個為何

同理(令f(x)=√x根據函數圖形        df(x)/dx 會漸減
)我們應用於第三題
A/(a+1-a) < B/(a-a+1) =>  A<B
B較大

也是同樣之道理

[ 本文最後由 turnX 於 07-9-17 04:44 AM 編輯 ]

傲月光希

原文由M.N.M. 於 07-9-7 03:05 PM 發表
2.已知√2008=(√x)+(√y)，且x、y均為正整數，求x、y的所有解?

2008的質因數分解為2008=(2^3)*251

假設x=y，則√2008=2√x
=> 2008=4x
=>x=y=502
因此(x,y)=(502,502)為一解

其次，不失一般性假設x>y，則將原式兩邊平方得
2008=x+y+2√(xy)
所以√(xy)屬於正整數

令最大公因數(x,y)=d，則存在正整數s跟t使得x=ds,y=dt，其中(s,t)=1,s>t
因為上述√(xy)屬於正整數又s跟t互質，所以s跟t必為平方數，假設s=k^2,t=m^2,k跟m為正整數,k>m
=>√2008=√(ds)+√(dt)=(√d)(√s+√t)=(√d)(k+m)
=>k+m=2 (因為√2008=2√502)
=>(k,m)=(2,0) 或 (1,1)(不合)
因此y=d*m^2=0，與y是正整數矛盾

對x<y的情況也是一樣
因此(x,y)=(502,502)是唯一正整數對解

3.圓O外接於正方形ABCD，P為AD弧上任意點，求證:(PA+PC)/PB為定值

如圖，由於AC為正方形對角線，再加上兩對角線的交點為正方形中心，因此AC剛好是圓O的直徑且中心為圓心，所以角APC正

好是圓周角且90度

假設角APB為x度，則角BPC為90-x度

角APB跟角BPC所對應的弦長皆為a，因此此兩弦所對應的圓心角必定一樣，所以角APB跟角BPC一樣

所以兩者皆為45度

由餘弦定理得到下列式子跟算式，因此得證

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-9-8 06:04 PM 編輯 ]

流刃如火

原文由M.N.M. 於 07-9-7 03:05 PM 發表
國中
1.把(a-b)√(b-a)中根號外的因式移到根號內，其結果為?

√(b-a)>=0
故b-a>=0
(a-b)√(b-a)=-(b-a)√(b-a)=-√(b-a)^3=-√-(a-b)^3
(總覺得好像看過...→九章出版社的某書)
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原文由M.N.M. 於 07-9-7 03:05 PM 發表
3.設A=[√(a+1)]-(√a)，B=(√a)-[√(a-1)]，則A、B中數值較大的一個為何

A=[√(a+1)]-(√a)={[√(a+1)]-(√a)}{[√(a+1)]+(√a)}/√(a+1)]+(√a)}=1/[√(a+1)]+(√a)
B=(√a)-[√(a-1)]={(√a)-[√(a-1)]}{(√a)+[√(a-1)]}/{(√a)+[√(a-1)]}=1/(√a)+[√(a-1)]
因為{[√(a+1)]+(√a)}-{(√a)+[√(a-1)]}=[√(a+1)]-[√(a-1)]>0   ( (a+1)-(a-1)>0 )
[√(a+1)]+(√a)>(√a)+[√(a-1)] => A=1/[√(a+1)]+(√a)<1/(√a)+[√(a-1)]=B
看的我眼睛都快疲勞了...= =

[ 本文最後由 流刃如火 於 07-9-7 08:26 PM 編輯 ]

turnX

2.是比較(√10)+(√14)與(√11)+(√13)的大小

令
a=(√10)+(√14) > 0
b=(√11)+(√13) > 0

a^2=24+2√140
b^2=24+2√143

b^2>a^2

b>a

(√11)+(√13) > (√10)+(√14)

Ans:(√11)+(√13) 比較大

1.若a>0、b>0且(√a)[(√a)+(√b)]=3(√b)[(√a)+5(√b)]，求[2a+3b+(√ab)]/[a-b+√ab)]=?

展開 條件式 得  a-15b=  2√ab -----(1)
對[2a+3b+(√ab)]/[a-b+√ab)]其分子分母同乘2並以(1)代入得
(5a-9b)/(3a-17b) 以後就相當於求這個 ---------(2)

對(1) 做平方展開 得
a^2-30ab+225b^2=4ab
a^2-34ab+225b^2=0
(a-25b)*(a-9b)=0
a= 25b or 9b

將a= 25b or 9b 分別代入(2)
得解為 2 or 18/5( 由於(1)的限定故不符合 9b-15b < 0 但 2√ab > 0 )

Ans: 2

[ 本文最後由 turnX 於 07-9-7 04:23 PM 編輯 ]