挑戰115

M.N.M.

國中
1.從五個不同的正整數中，任意選出四個數，並計算乘積，結果發現這樣的乘積分別為x，y，z，140及210，試求x*y*z之最小值

2.已知2^2007展開後為m位數，且5^2007展開後為n為數，試求m+n之值

3.已知方程2(x^2)-9x+8=0，求作一個二次方程，使它的一根為原方程兩根和的倒數，另一根為原方程兩根差的平方

高中
1.試求1!*1+2!*2+3!*3+...+222!*222除以2007之餘數

2.把半徑為1的14個小球疊成三層放在桌上；下層9個，中層4個，上層1個，兩兩相切，求上層小球最高點離桌面的高度

3.設複數平面上單位圓內接正20邊形的20個頂點所對應的複數依次為Z_1、Z_2、Z_3、...、Z_20，則(Z_1)^1995、(Z_2)^1995、
(Z_3)^1995、...、(Z_20)^1995所對應的不同點有多少個?

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-10-31 10:18 PM 編輯 ]

MAXZS

1.從五個不同的正整數中，任意選出四個數，並計算乘積，結果發現這樣的乘積分別為x，y，z，140及210，試求x*y*z之最小值

五個不同的正整數 : a,b,c,d,e
a*b*c*d = x
a*b*c*e = y
a*b*d*e = z
a*c*d*e = 140
b*c*d*e = 210

x*y*z = [(a*b)^3]*[(d*e*c)^2]
140 = 1*2*7*10
210 = 1*3*7*10
so a= 2,b=3,   d,e,c = 1,7,10
x*y*z = 6^3 * 70^2 = 216*4900 = 1058400

極光小雷

1.
  140= 70*3 = 3*2*5*7
  210= 70*2 = 2*2*5*7
故

得 5個未知數  分別為  2.2.3.5.7

2*2*3*5= 60

Ans :   60

turnX

2.把半徑為1的14個小球疊成三層放在桌上；下層9個，中層4個，上層1個，兩兩相切，求上層小球最高點離桌面的高度

其實是計算一個邊長為2的角錐高 底是一個2*2的正方形 旁邊為2-2-2所形成的正三角形角錐
利用兩次的商高定理可算得高為 sqrt(2)
因此上層小球最高點離桌面的高度為 2*(1+sqrt(2))=2+2sqrt(2)
再算錯的話無話可說,代表我思考錯誤

turnX

3.設複數平面上單位圓內接正20邊形的20個頂點所對應的複數依次為Z_1、Z_2、Z_3、...、Z_20，則(Z_1)^1995、(Z_2)^1995、
(Z_3)^1995、...、(Z_20)^1995所對應的不同點有多少個?

有4個...分別是Z_1,Z_6,Z_11,Z_16
因為1995*n*PI/10 形成0PI,PI/2,PI,3PI/2的循環

所以有四個 不知對不對

turnX

2.已知2^2007展開後為m位數，且5^2007展開後為n為數，試求m+n之值

以10為底
m=[log(2^2007)]+1=605
n=[log(5^2007)]+1=1403

m+n=1403+605=2008

2.把半徑為1的14個小球疊成三層放在桌上；下層9個，中層4個，上層1個，兩兩相切，求上層小球最高點離桌面的高度

畫出圖觀察並利用商高定理

sqrt(2^2-1^2)=sqrt(3)
1*2+2*sqrt(3)=2+2sqrt(3)

Ans:2+2*sqrt(3)

[ 本文最後由 turnX 於 07-10-31 10:34 PM 編輯 ]

aeoexe

3.已知方程2(x^2)-9x+8=0，求作一個二次方程，使它的一根為原方成兩根和的倒數，另一根為原方成兩根差的平方

設a,b為2(x^2)-9x+8=0的根
a+b=9/2,ab=4
現在一根為原方成兩根和的倒數,一根為原兩根差平方,
即一根為1/(a+b)=2/9,另一根為(a-b)^2=17/4
所以那個二次方程為[x-(2/9)][x-(17/4)]=0
即36x^2-161x+34=0

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-11-3 11:06 AM 編輯 ]

cfc21

Q:試求1!*1+2!*2+3!*3+...+222!*222除以2007之餘數
SOL:
   1!*1+2!*2+3!*3+...+222!*222 = 1!*(2-1)+2!*(3-1)+3!*(4-1)+...+222!*(223-1)
                                             = 2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+223!-222!
                                             = 223! - 1
   而2007 = 223 * 9
   故 223! - 1 同餘 -1 (mod 2007)
                  同餘2006  (mod 2007)
A:2006