排列

dreamer7

1.
設有三艘渡船，每船最多可載5人，若有7人欲渡河，共有2142種安全的渡法。






2.將5封不同的信，投入四個不同的郵筒，則每個郵筒至少投一封的投法有390種。






3.有8個人身高均相異，今8人排成一列，但任一位較矮者都不排在兩位較高者之
      間，共有128種排法。










請告訴我詳解
謝謝!!

cfc21

分堆的方法如下：
C(5,2)*C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)*(1/3!)=10*3*2*1*(1/6)=10

dreamer7

你的第一題特別喔!!
不好意思，請問
5封信分成 2 , 1 , 1 , 1 有10種方法
是如何算??

cfc21

參考書也是人寫的，錯誤難免，我想這也是一個經驗，有句話說：「盡信書不如無書」，共勉之

spirit6831

我冏哩!!
這三題題目~~在高中某本數學講義上有
後面的解答是錯誤的!!

呵呵~~抱歉抱歉~我錯哩

此題還可以用怕斯卡三角形

四個郵筒至少都要有一封
所以四個郵筒受限
根據帕斯卡三角形
            1 1   
           1 2 1    →　兩人(個)受限
         1 3 3 1   →　三人(個)受限
        1 4 6 4 1  →　四人(個)受限

所以就

1*4^5 - 4*3^5 + 6*2^5 - 4*1^5 + 1*0^5
=1024-972+192-4+0
= 240 種排法

[ 本文最後由 spirit6831 於 08-4-18 03:43 PM 編輯 ]

cfc21

原文由 M.N.M. 於 08-4-17 02:57 PM 發表 [原文]
2.如果是問其中三個郵筒均至少一封的話

那答案就是390了

所求=全部-(A未得∪B未得∪C未得)

=4^5-[ C(3，1)*(3^5)- C(3，2)*(2^5)+ C(3，3)*(1^5)]
=390

(1)4個郵筒都使用 → [C(5,2)*C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)*(1/3!)]*4!=240種
(2)僅使用那3個郵筒：
    (I) [C(5,3)*C(2,1)*C(1,1)*(1/2!)]*3!=60種
   (II) [C(5,2)*C(3,2)*C(1,1)*(1/2!)]*3!=90種
   60 + 90 = 150種

由(1)，(2)得知共有 240+150 = 390 (種)

數學解法殊途同歸才好玩吧，嘻！

PS:在下對「一題多解」有偏好，交流一下吧

[ 本文最後由 cfc21 於 08-4-18 05:42 AM 編輯 ]

cfc21

您的意思是：題目要是說五封"相同"的信，就可以用分堆了，是這樣嗎？哈～

ＰＳ：笑的意思是笑我自己啦，不要誤會喔

spirit6831

2. 5封信分成 2 , 1 , 1 , 1 有10種方法，對4個郵筒作排列有4!=24種，故應有10*24=240種。(你的答案應有誤吧 )


答案是390種沒錯

題目說的是五封"不同"的信

所以"分堆"的方式不適合應用在此題目上面

M.N.M.

2.如果是問其中三個郵筒均至少一封的話

那答案就是390了

所求=全部-(A未得∪B未得∪C未得)

=4^5-[ C(3，1)*(3^5)- C(3，2)*(2^5)+ C(3，3)*(1^5)]
=390

cfc21

一段時間沒來了，今天剛好進來，就幫一下忙，你參考一下吧
1. 參考一下

2. 5封信分成 2 , 1 , 1 , 1 有10種方法，對4個郵筒作排列有4!=24種，故應有10*24=240種。(你的答案應有誤吧 )

3. 最高的站出來 → 第二高的選最高的兩邊的一個位置站好 → 第三高的選兩邊的一個位置站好 → ...
    → 最矮的選兩邊的一個位置站好
   如此矮的人不會被比他高的兩個人夾住，故有2^7 = 128種

[ 本文最後由 cfc21 於 08-4-16 06:16 PM 編輯 ]