學科能力競賽試題

irro0820

1.設f為R映射至R的非零函數若對於任意實數x,y ,   f ( x + y f( x ) )=f ( x )+ x f ( y )皆成立 試証明:對於所有自然數n,
   f(  n  ) = n

2.試證明:對於每一實數x及每一自然數n,不等式|sin(nx)|≤n|sinx|恆成立

3.
(1)x.y∈N且x>y證明x·y≤[x,y]·(x-y)     已証好了
(2)設n≥a1>a2>...>ak(底標不會用)均為正整數,其中任取a數列之任兩者其最小公倍數均小於n試證明對於每一個i,      i·ai≤n                (註解:i乘以ai)

4.平面上兩點AB,座標分別為(1,a)(1,0),當a>0試求過原點的直線L使得AB兩點到L之垂直距離的平方合最小

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M.N.M.

2.≤
(i)當n=1時，|sin x|≤|sinx|

(ii)令n=k時成立，即|sin(kx)|≤k|sinx|

則當n=k+1時

|sin(k+1)x|
=│sin(kx+x)│
=│sin(kx)*cos(x)+sin(x)*cos(kx)│
≤│sin(kx)*cos(x)│+│sin(x)*cos(kx)│，三角不等式

∵-1≤sin(t)≤1，-1≤cos(t)≤1，t為任意實數

∴│sin(kx)*cos(x)│+│sin(x)*cos(kx)│
≤│sin(kx)│+│sin(x)│
≤k│sin(x)│+│sin(x)│
=(k+1)│sin(x)│

由數學歸納法得知，對每一自然數n，不等式|sin(nx)|≤n|sinx|恆成立

故得證