挑戰128

M.N.M.

國中
1.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若角A、B、C的大小成等比數列，且(b^2)-(a^2)=ac，求角ABC為何?

2.已知p>3，且p和2p+1都是質數，試問4p+1是合數或是質數?並說明理由。

3.三角形的三邊均為整數，且最大邊為11，問有多少個這樣的三角形?

高中
1.設a_0=12008，a_n=1203333....308(n個3)，n=1,2,3,......，證明:19整除a_n

2.a,b,c為實數，L:cx+by+a=0，M:bx+ay+c=0，L和M重合，求x^3+y^3-3xy=?

3.某平方數的個位數是9，十位數是0，求證:它的百位數是偶數。

aeoexe

3.三角形的三邊均為整數，且最大邊為11，問有多少個這樣的三角形?
這個就用暴力法吧...
設a<or= b <or=11
a=1,b=11
a=2,b=10 or 11
a=3,b=9 or 10 or 11
a=4,b=8 or 9 or 10 or 11
a=5,b=7 or 8 or 9 or 10 or 11
a=6,b=6 or 7 or 8 or 9 or 10 or 11
a=7,b=7 or 8 or 9 or 10 or 11
a=8,b=8 or 9 or 10 or 11
a=9,b=9 or 10 or 11
a=10,b=10 or 11
a=11,b=11
有36種三角形可以成立..

aeoexe

2.已知p>3，且p和2p+1都是質數，試問4p+1是合數或是質數?並說明理由。
如果一個數n是質數的話,則n=1or2(mod3)
2p+1=1(mod3)
p=0(mod3)
所以p是3的倍數,但因為p>3,所以2p+1=1(mod3)是不可能,
2p+1=2(mod3)
p=2(mod3)
所以質數p是除3餘2..
4p+1=4*2+1=9=0(mod3)
所以4p+1為3的倍數,所以4p+1為合成數...

turnX

1.設a_0=12008，a_n=1203333....308(n個3)，n=1,2,3,......，證明:19整除a_n

1.設a_0=12008，a_n=1203333....308(n個3)，n=1,2,3,......，證明:19整除a_n


找到遞迴式
a_(k)=a_(k-1)*10+228 可為19整除
當n=0時 a_0=12008 可被19整除 成立
設n=k-1時 a_(k-1)=a_(k-2)*10+228 可為19整除成立
.
.
當 a_(k)=a_(k-1)*10+228=(a_(k-2)*10+228)*10+228 也成立 ,因為a_(k-2)*10+228 和228可被19整除
因此得證

1.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若角A、B、C的大小成等比數列，且(b^2)-(a^2)=ac，求角ABC為何?

根據正弦定理
(sinB)^2-(sinA)^2=sinA*sinC
sin(A+B)sin(B-A)=sinA*sin(A+B)
sin(B-A)=sinA
B-A=A
B=2A

C=B^2/A=4A
A+2A+4A=PI
A=PI/7
所以角ABC=2PI/7

[ 本文章最後由 turnX 於 08-9-28 03:24 編輯 ]

turnX

2.a,b,c為實數，L:cx+by+a=0，M:bx+ay+c=0，L和M重合，求x^3+y^3-3xy=?

因為L和M重合  得  c/b=b/a=a/c 知a=b=c
所以可知 ax+ay+a=0
x+y+1=0
令y=-x-1代入x^3+y^3-3xy=x^3-1-3x-3x^2-x^3+3x+3x^2=-1

Ans:-1

3.某平方數的個位數是9，十位數是0，求證:它的百位數是偶數。

根據個位數是9,十位數是0
我們先看原先兩位數是多少,也只有53和03符合
我們假設百位為a,則我們要檢查a53和a03的百位是否為偶數
a53相乘後發現, (28+6a)*100+9 [百位以上不看]的確是偶數
a03相乘後發現,  6a*100+9 [百位以上不看]的確是偶數
因此得知其百位必為偶數

[ 本文章最後由 turnX 於 08-9-27 15:57 編輯 ]