挑戰133

M.N.M.

1.
反覆擲一骰子，直到有一點數出現三次為止。將到結束為止出現的全部點數之和作為得分，例如:依次出現點數為3，6，1，3，3，
則結束時得16分。
(1)最小可能得分為多少分?最大可能得分為多少分?(兩個都對才有聲望+1)

(2)到結束為止共擲3次的機率為多少?共擲4次的機率為多少?(兩個都對才有聲望+1)

(3)得分再5分以下(包含5分)之機率為多少?得分恰為8分的機率為何?(兩個都對才有聲望+2)

2.
S_n表示等差級數前n項的和，若S_50=a，S_100=b，求S_150 + S_250=?

3.
直角三角形斜邊長為C，兩股長分別為A，B。如果面積大小和周長相等，則兩股和與斜邊相差多少?

[ 本文章最後由 M.N.M. 於 09-9-7 20:06 編輯 ]

小逆風

2.
S_n表示等差級數前n項的和，若S_50=a，S_100=b，求S_150 + S_250=?

(sol.)
等差級數的公式為：S_n = n/2[2a_1+(n-1)d ]
設首項為a_1 , 公差為d
S_50 = 25(2a_1+49d) = a
S_100 = 50(2a_1+99d) = b
S_150 = 75(2a_1+149d) = 75(2a_1+49d)+7500d = 3a+7500d
S_250 = 125(2a_1+249d) = 125(2a_1+49d)+25000d = 5a+25000d
b-2a => 50(50d) = 2500d  ,  7500d = 3(b-2a) = 3b-6a  ,  25000d = 10(b-2a) = 10b-20a
S_150 + S_250 = 3a+3b-6a+5a+10b-20a = 13b-18a

小逆風

3.
直角三角形斜邊長為C，兩股長分別為A，B。如果面積大小和周長相等，則兩股和與斜邊相差多少?

(sol.)
題目意即求 (A+B)-C
由題意可知   1/2AB=(A+B+C)
由畢氏定理得知 A^2+B^2=C^2
                       => (A+B)^2-2AB=C^2
將上式移項可得   (A+B)^2-C^2=2AB
                          => (A+B+C)(A+B-C)=2AB
又因為1/2AB=(A+B+C)
所以(A+B-C)=4

M.N.M.

原文由 cloud7812061 於 09-9-7 23:15 發表
1-1-1： 1 * 3 = 3

1-1-2： 2 * ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) + 6 = 48
1~6各2次 ，加最尾的6一次。

1-2-1： 1 *  ( 1/6 )^2 = 1/36
1~6中任一->同一個->同一個。

1-2-2： 1 * ( 1/6 )^2 * ( 5/6 ) * ( 4 - 1 ) = 5/72
1~6中 ...

b-2a是S_50，S_100-S_50 ，S_150-S_100....數列的公差

第3題其實不用解出三邊的長

只要知道A+B-C=?或C-(A+B)=?

這樣差就出來了

cloud7812061

1-1-1： 1 * 3 = 3

1-1-2： 2 * ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) + 6 = 48
1~6各2次 ，加最尾的6一次。

1-2-1： 1 *  ( 1/6 )^2 = 1/36
1~6中任一->同一個->同一個。

1-2-2： 1 * ( 1/6 )^2 * ( 5/6 ) * ( 4 - 1 ) = 5/72
1~6中任一個->同一個->同一個->甚於任一個->排列，扣除矛盾者。

1-3-1： 設機率Pn是得到n分之機率 ->
由上解知所求P = P3 + P4 +P5
由題意知 n = 4  時 ， 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 不符題目要求 ->P4 =0
又 5 = 1 + 1 + 1 + 2  符合
-> P = ( 1/6 )^3 + 0 + ( 1/6 )^4 * 3 = 1/144

1-3-2：同上  符合之組合 8 = 5 + 1 + 1 +1   = 2 + 3 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
-> P8 = ( 1/6 )^4 * 3 + ( 1/6 )^5 * ( 6 * 2 )  + ( 1/6 )^5 * ( 6 ) = 1/216
過程用排列。

2：設d為公差 ->  
b - 2a = 50d * 50  
-> S150 + S200 = ［ b + a + ( 100d ) * 50 ］+ ［ b + b + (100d ) * 100 ］
= 3 * b + a + ( b-  2a ) * ( 2 + 4 )
= 9 * b - 15a

3：放棄，除了硬解A、B、C以外想不到其他作法，也做不出來。

[ 本文章最後由 cloud7812061 於 09-9-7 23:16 編輯 ]

M.N.M.

原文由 狐穆兒 於 09-9-7 18:12 發表

一.
(1)
3分
(2)
49分


二.
(1)
3/13
(2)
機率0


姆姆?
手上沒計算機
所以後面我要偷懶=   =+
(應該沒錯吧...應該....ˊˋ)

只有第一小題最小得分是對的

沒過程是不給對喔

狐穆兒

原文由 M.N.M. 於 09-9-7 09:53 發表
(1)最小可能得分為多少分?最大可能得分為多少分?(兩個都對才有聲望+1)

(2)到結束為止共擲3次的機率為多少?共擲4次的機率為多少?(兩個都對才有聲望+1)


(3)得分再5分以下(包含5分)之機率為多少?得分恰為8分的機率為何?(兩個都對才有聲望+2)

一.
(1)
3分
(2)
49分


二.
(1)
3/13
(2)
機率0


姆姆?
手上沒計算機
所以後面我要偷懶=   =+
(應該沒錯吧...應該....ˊˋ)

[ 本文章最後由 狐穆兒 於 09-9-7 10:18 編輯 ]