圓問題(1)

神乎其技滴小白

1.座標平面上,圓C:(x-7)^+(y-8)^2=9,在圓C上有多少個點,與原點的距離正好是整數?

2.與直線L:4x+3y=10相切於A(1,2),又通過B(0,3)之圓方程式為?




公佈答案

1.設圓上點為(x,y)

所以到原點距離為(X^2+Y^2)^(1/2)===>必需為整數

圓心(7,8)到原點距離為113^(1/2)

所以到原點[最近距離113^(1/2)+-3] < 可能點距離 < [最遠距離113^(1/2)+3]

===> 7.63< 可能點距離 < 13.63

因為點到原點的距離必須為整數

所以有8.9.10.11.12.13這6種距離

又每一種距離分別有2個點在圓的兩側

所以共有12的點符合

2.分別由M.N.M.和皇子．璇答對

yxwddpp

[quote=神乎其技滴小白]1.座標平面上,圓C:(x-7)^2+(y-8)^2=9,在圓C上有多少個點,與原點的距離正好是整數?

2.與直線L:4x+3y=10相切於A(1,2),又通過B(0,3)之圓方程式為?[/quote]
少了平方喔~(應該吧...

1.
圓的標準式為:
∵(x-X1)^2+(y-Y1)^2=r^2

∴r=√9=3(正整數)
∴答案是無限多個點...

M.N.M.

第一題只有兩個嗎?
第二題再想想

斷月嵐

2.根號(X-1)^2+(Y-2)^2=根號X^2+(Y-3)^2
===>(X-1)^2+(Y-2)^2=X^2+(Y-3)^2

剛教的還記得
根號符號不會打 = =|||

windxxx百

【1】
設點為(X,Y)，因此到原點距離(X^2+Y^2)開根號，需為整數

圓心(7,8)倒原點距離為113開根號

因此到原點(最近距離113開根號-3) < 可能點距離 < (最遠距離113開根號+3)

7.63< 可能點距離 < 13.63，因此有距離為8、9、10、11、12、13這6個點

【2】
相切→垂直，兩直線方程式垂直，斜率相乘為-1，

推得通過圓心直線方程式為3X-4Y=t，切於(1,2)代入，得3X-4Y=-5

設此線上任一點(包含圓心)為X=t,Y=(3t+5)/4

圓心到圓上任一點等距，亦到(1,2)、(0,3)等距，因而求出t，便求出圓心，

圓心到點(0,3)之半徑也可求出

....(麻煩的計算...)

我求出的圓心為(3/7,11/7)，半徑平方為109/49

以上不知對不對...

M.N.M.

2.
設圓心(a，b)
斜率互相垂直:
(b-2)/(a-1)=4/3
=>4a-3b+2=0.......(1)

原點到(0，3)的距離=原點到(1，2)的距離
√[(a^2)+(3-b)^2]=√[(a-1)^2+(b-2)^2]
=>a-b+2=0.......(2)

(1)(2)=>a=4，b=6
半徑為5

(x-4)^2+(y-6)^2=25
=>x^2+y^2-8x-12y+27=0

M.N.M.

2.
設圓心(a，b)
斜率互相垂直:
(b-2)/(a-1)=3/4

=>3a-4b+5=0.......(1)

圓心到(0，3)的距離=圓心到(1，2)的距離
√[(a^2)+(3-b)^2]=√[(a-1)^2+(b-2)^2]
=>a-b+2=0.......(2)

(1)(2)=>a=-3，b=-1
半徑為5

(x+3)^2+(y+1)^2=25
=>x^2+y^2+6x+2y-15=0

皇子．璇

2.
與直線垂直L:4x+3y=10且通過(1,2)的直線→3x-4y=-5.........(1)

直線AB的中垂線→x-y=-2...........(2)

由(1)(2)推出圓心(-3，-1)

則半徑為5

圓方程式：(x+3)^2+(y+1)^2=25

----------------------------------------------
省略了很多= =

只是把重點的公式列出來

神乎其技滴小白

[QUOTE=windxxx百]1】
設點為(X,Y)，因此到原點距離(X^2+Y^2)開根號，需為整數

圓心(7,8)倒原點距離為113開根號

因此到原點(最近距離113開根號-3) < 可能點距離 < (最遠距離113開根號+3)

7.63< 可能點距離 < 13.63，因此有距離為8、9、10、11、12、13這6個點

【2】
相切→垂直，兩直線方程式垂直，斜率相乘為-1，

推得通過圓心直線方程式為3X-4Y=t，切於(1,2)代入，得3X-4Y=-5

設此線上任一點(包含圓心)為X=t,Y=(3t+5)/4

圓心到圓上任一點等距，亦到(1,2)、(0,3)等距，因而求出t，便求出圓心，

圓心到點(0,3)之半徑也可求出

....(麻煩的計算...)

我求出的圓心為(3/7,11/7)，半徑平方為109/49

以上不知對不對...[/QUOTE]
你第一題差一點就對了,就想想看喔!

你第2題好像計算錯誤摟~~~

再重算一次看看!
[quote=M.N.M.]2.
設圓心(a，b)
斜率互相垂直:
(b-2)/(a-1)=3/4

=>3a-4b+5=0.......(1)

圓心到(0，3)的距離=圓心到(1，2)的距離
√[(a^2)+(3-b)^2]=√[(a-1)^2+(b-2)^2]
=>a-b+2=0.......(2)

(1)(2)=>a=-3，b=-1
半徑為5

(x+3)^2+(y+1)^2=25
=>x^2+y^2+6x+2y-15=0[/quote]
答對摟~~~

[QUOTE=皇子．璇]2.
與直線垂直L:4x+3y=10且通過(1,2)的直線→3x-4y=-5.........(1)

直線AB的中垂線→x-y=-2...........(2)

由(1)(2)推出圓心(-3，-1)

則半徑為5

圓方程式：(x+3)^2+(y+1)^2=25

----------------------------------------------
省略了很多= =

只是把重點的公式列出來[/QUOTE]
答對摟~~~

神乎其技滴小白

公佈答案

1.設圓上點為(x,y)

所以到原點距離為(X^2+Y^2)^(1/2)===>必需為整數

圓心(7,8)到原點距離為113^(1/2)

所以到原點[最近距離113^(1/2)+-3] < 可能點距離 < [最遠距離113^(1/2)+3]

===> 7.63< 可能點距離 < 13.63

因為點到原點的距離必須為整數

所以有8.9.10.11.12.13這6種距離

又每一種距離分別有2個點在圓的兩側

所以共有12的點符合

2.分別由M.N.M.和皇子．璇答對