挑戰101

M.N.M.

1.設a，b，c為正整數，其中ab+bc-ac=0 且a-c=101，求b

2.在凸四邊形ABCD的兩條對角線AC和BD上各取兩點E、G和F、H，使得AE=GC=(1/4)AC，BF=HD=(1/4)BD。設AB、CD、EF、GH的中點分別為M、N、P、Q。求證:M、P、Q、N四點共線

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-7-6 09:29 PM 編輯 ]

appqq

1.ab+bc-ac=0
a-c=101
b=ac/(a+c)=(101c+c^2)/(101+2c)
設c=101n
101n代入c

[101^2*n+(101n)^2]/(101+202n)
=[(101^2)n(n+1)]/[(101)(2n+1)]
=[101n(n+1)]/(2n+1)

因為a、b、c是正整數
所以n是正整數
所以[101n(n+1)]/(2n+1)是整數
2n+1=101(剩下的2n+1=n或2n+1=n+1，n沒有整數解)
n=50
a=5151  <--a-c=101
b=2550  <--[101n(n+1)]/(2n+1)
c=5050  <--c=101n
答案:b=2550

turnX

b=ac/(a+c)=(101c+c^2)/(101+2c)=c-c^2/(101+2c)
因為c為正整數,所以要找c^2/(101+2c)為整數,b才可為正整數
令c^2/(101+2c)=k (c為正整數,所以k為正整數)
c^2=101k+2kc=>c^2-2kc(-101k)=0

delta=4k^2+404k 為平方數 c才可為整數
也就是求k*(k+101)為平方數 , k為正整數

當k,k+101互質時  k為平方數且k+101為平方數時,k*(k+101)才為平方數
所以知
k=1+3+5+7+9+...+99=50*(1+99)/2=50^2
k+101=1+3+5+7+9+...+101=51*(1+101)/2=51^2

所以k=2500 => c=5050 => a=5151 => b=2550

當k,k+101不互質時 k=101q  k*(k+101)=101q*(101q+101)=101^2*q*(q+1)
此時q,q+1互質...結果同上  q=50^2,q+1=51^2....k=101q=101*50=5050
當k=5050時 ,但k*(k+101)=5050*5151 不為平方數,此情況無解

Ans:b=2550

aeoexe

2.在凸四邊形ABCD的兩條對角線AC和BD上各取兩點E、G和F、H，使得AE=GC=(1/4)AC，BF=HD=(1/4)BD。設AB、CD、EF、GH的中點分別為M、N、P、Q。求證:M、P、Q、N四點共線

詳情見圖吧....
有問題的話才問....
倒覺得這個方法很笨.....
===
(更新了圖)
寫錯了坐標........(太心急了...)
====
有沒有人幫我解一題?
(某某盃的題目)
如果x及y也是實數,求sqrt(x)+sqrt(y-2)=(x+y)/2

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-7-7 10:00 PM 編輯 ]

turnX

to:aeoexe
座標解析,的確是個方法.沒想到
不過能解釋出來就很好,倒也還好,沒啥笨不笨

‧幻星〞

2.

(1)
如圖01
R、S分別為AC、BD中點
NR=1/2*AD=MS
MR=1/2*BC=SN
四邊形MSNR中
兩對邊相等
所以四邊形MSNR為平行四邊形
對角線互相平分
也就是MN會通過RS中點T

(2)
如圖02
同理
PQ也會通過RS中點T

(3)
如圖03
TH=1/2*RD=GN
TG=1/2*SC=HN
四邊形THNG中
對邊相等
所以TN通過HG中點Q

＊綜合以上三點M、P、Q、N四點共線

aeoexe

只是數學有好方法不用,
用一些難度高,易錯誤方法是一個很笨的做法....
但是以我的程度也只有這個水平...
幫我答答我的問題吧....

turnX

原文由aeoexe 於 07-7-7 10:05 PM 發表
有沒有人幫我解一題?
(某某盃的題目)
如果x及y也是實數,求sqrt(x)+sqrt(y-2)=(x+y)/2

令sqrt(x)=a >= 0      => x=a^2
令sqrt(y-2)=b >=0    => y=b^2+2

a+b=(a^2+b^2+2)/2
=> 2(a+b)=a^2+b^2+2
=> (a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)=0
=> (a-1)^2+(b-1)^2=0

唯一解當 a=1,b=1時
x=1^2=1
y=1^2+2=3

所以x=1,y=3

Ans: x=1,y=3