升學考試挑戰題(2)

turnX

這次先出簡單點做為一種參考
每題答對+2
(請一次以一題為限,沒辦法一次給4點以上XD)

1.設A(-3,7),B(4,6),C(3,-1)則三角形ABC的外接圓方程式為?

2.設A(3,0),B(0,4),點P為圓x^2+y^2=1上的一點,若向量PA及向量PB的內積最大值為m,最小值為n
求m=?,n=?

3.試求橢圓 (x/a)^2+(y/b)^2=1 (a>b>0)內接矩形之最大面積為何?

4.設A(-23,15),B(16,-37) 則線段AB上之格子點(點(m,n), m,n屬於Z)共有多少個?

[ 本文最後由 turnX 於 07-9-3 07:42 PM 編輯 ]

‧幻星〞

1.設A(-3,7),B(4,6),C(3,-1)則三角形ABC的外接圓方程式為?

ABC為直角三角形
外心在AC中點上(0,3)
半徑=AC/2=5
方程式為25=(y-3)^2+x^2

[ 本文最後由 ‧幻星〞 於 07-9-4 06:16 PM 編輯 ]

M.N.M.

3.
設T(acosθ，bsinθ)

則面積為4(acosθ *bsinθ)

=2ab*sin2θ <= 2ab

所以內接矩形之最大面積為2ab

此時sin2θ =1，θ =pi/4

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-9-4 12:31 AM 編輯 ]

傲月光希

原文由turnX 於 07-9-3 06:47 PM 發表
2.設A(3,0),B(0,4),點P為圓x^2+y^2=1上的一點,若向量PA及向量PB的內積最大值為m,最小值為n
求m=?,n=?

設P=(cosθ,sinθ)，則向量PA=(3-cosθ,-sinθ)，向量PB=(-cosθ,4-sinθ)

=>PA．PB=-cosθ (3-cosθ)-sinθ (4-sinθ)=-3cosθ+(cosθ)^2-4sinθ+(sinθ)^2=1-(3cosθ+4sinθ)
=1-5sin(θ+α)，其中sinα=3/5,cosα=4/5

=>-4≦1-5sin(θ+α)≦6

因此m=6,n=-4

傲月光希

原文由turnX 於 07-9-3 06:47 PM 發表
3.試求橢圓 (x/a)^2+(y/b)^2=1 (a>b>0)內接矩形之最大面積為何?

因為(x/a)^2+(y/b)^2=1且我們知道內接矩形交於橢圓的點皆為對稱，我們考慮第一象限的交點，再利用算幾不等式得到

[(x/a)^2+(y/b)^2]/2≧√{[(x/a)^2][(y/b)^2]}=xy/ab
=>xy≦ab/2
=>4xy=(2x)(2y)=2ab

由於第一象限交點的x座標與y座標正好分別為矩形底跟高的一半，因此內接矩形最大面積為2ab

‧幻星〞

4.設A(-23,15),B(16,-37) 則線段AB上之格子點(點(m,n), m,n屬於Z)共有多少個?

16+23=39
15+37=52
(39,52)=13
13+1=14

14個

傲月光希

3.

因為(x/a)^2+(y/b)^2=1且我們知道內接矩形交於橢圓的點皆為對稱，我們考慮第一象限的交點，再利用柯西不等式得到

[(x/a)^2+(y/b)^2][(y/b)^2+(x/a)^2]≧(2(xy/ab))^2
=>1≧4(xy/ab)^2
=>xy/ab≦1/2
=>4xy=(2x)(2y)≦2ab

由於第一象限交點的x座標與y座標正好分別為矩形底跟高的一半，因此內接矩形最大面積為2ab