函數的微分

傲月光希

這篇文章主要是要來談談一個函數的微分

在這之前，我們要先來看看為什麼要討論函數的微分，而函數的微分到底又是什麼

由於考慮到學程差距的問題，因此我們不談微分的理論，這篇裡定理的證明也不詳細證明
(這篇可以與"基本的不定積分表"互相使用)

這篇文章主要分為幾個部分：
1.導數的定義
2.導數的公式
3.鎖鏈原理與三角、反三角函數的導數
4.指數函數、對數函數及雙曲函數的導數
5.羅必達法則

1.導數的定義
我們可以先來看圖一。圖一內有一個函數y=f(x)在x-y軸平面上畫出來的曲線。
我們都知道將曲線上不同兩點相連的那條直線就叫做割線，現在，我們有興趣的就是它的斜率。
從高中就學過，兩點之間的割線(或直線)斜率就是x分量的變化分之y分量的變化所求出來的值，可以不難知道x=a到x=b之間的割線斜率就等於[f(b)-f(a)]/(b-a)。
現在，我們令x=a到x=b之間的距離等於h，則b=a+h，所以上面的斜率也可以表成[f(a+h)-f(a)]/h。
可是，我們想知道的是，假設今天x=a跟x=b之間非常非常靠近的時候，割線斜率又會起什麼變化呢?這就是之後微分的入門。
若x=a跟x=b非常之靠近就代表h小到幾乎等於0，則它們割線的斜率用極限表示就是
而此時割線就變得像圖一中的紅線，那條紅線正是f(x)在x=a的切線，割線斜率就是切線斜率。這個切線斜率就叫做函數在x=a上的導數。
導數在x=a的表法可以有以下幾種：

接著，就要講微分。我們將微分的定義如下：
f(x)在x=a這一點可微(differentiable)就代表說f(x)在這一點會有導數存在，導數就是這點的切線斜率，因此大家切勿將導數以及微分給搞混了。

接著，我們還有另外一種定理導數存在的方式是
x趨近於a^+就代表著x從x=a的右邊接近，因此為右導數；相對地，另一個稱為左導數。

看完的函數在一個點的微分，我們之後就要來看函數在一個實數軸上的一個區間的微分。
假設區間(a,b)落在f(x)的定義域中，若f(x)在(a,b)上任何一點都可微，則我們表示成
大家可以注意到，為什麼上面所表示的區間是開區間呢?(P.S. x在(a,b)內<=>a<x<b；x在[a,b]內<=>a≦x≦b)
假設有個函數是從定義域[a,b]映成到值域實數，考慮x=a跟x=b兩點的微分。
由於f(x)在a的左邊是沒有定義的，所以f(x)在x=a的導數是只有右導數的；相同地，在x=b這點的導數只有左導數。
因此，我們此時考慮在一個區間中的可微性只考慮去掉端點的微分，所以才如此表示。所以之後的討論也只會在開區間討論。
(P.S. [,]稱為閉區間，至於[,)或(,]稱為半開區間或半閉區間)

[ 本文最後由 傲月光希 於 08-1-20 12:06 AM 編輯 ]

傲月光希

2.導數的公式
我們在前面提過，一個函數在一點的導數長成
現在，對於f(x)的定義域中的任何一點x，我們是否可以利用上面的定義算出一個固定的式子，使得我們隨便取定義域中的值都可以直接套公式算出來呢?這答案對很多的函數來說是肯定的，求出來的導數公式我們稱作導函數(公式依然是函數)。
現在，我們來看一些常見的函數來求它們的導數公式。

1.1 f(x)=c，c是一個實數常數，則其導函數為0。其證明方式為
所以我們知道，對於所有在定義域的點，常數函數的微分是0。
1.2 若f(x)=x^n，n是正整數，則導函數為f'(x)=nx^(n-1)。其證明方式為
要注意的是，由於是正整數，我們才能用二項式展開證明。事實上，對於任何一個實數n，f(x)的導函數依舊長得一樣，但是其證明就不多加說明了。
從1.2的結論中，我們是可以得到一個多項式的微分正好是每一項的微分再相加，這是因為可微函數的相加減依舊是可微函數。
1.3 高階函數
p(x)是多項式且p(x)是無限次可微，則

1.4 若f(x)、g(x)是可微函數，則

接下來要說明一些定理

定理1：若f(x)在x=a可微，則f(x)在x=a連續。
所謂連續就是f(x)在x=a的極限就是f(a)，大家可以用f(x)=[f(x)-f(a)](x-a)/(x-a)+f(a)套極限證明。

[ 本文最後由 傲月光希 於 08-1-30 01:53 PM 編輯 ]

傲月光希

3.鎖鏈原理與三角、反三角函數的導數
從高中課程中可以知道兩個函數之間可以形成合成，就是合成函數，表示成(g。f)(x)=g(f(x))。
當然，要f(x)的值域落在g(x)的定義域之內，這個函數才有定義。
如果f(x)=-|x|且g(x)=√x，則g(f(x))除0以外就沒有定義了(注意，我們這邊不討論複數值函數)
因此要求合成函數的導函數，我們有以下定理。
定理1：


三角函數的導函數
我們從高中所知道的三角函數有
1.sinx
2.cosx
3.tanx
4.cotx
5.secx
6.cscx
我們可以求出每個三角函數的導函數如下

這邊，我們只證明sinx的導函數，其餘的有興趣的人可以自行證明

反三角函數的導函數
既然有三角函數，當然也會有反三角函數，而反三角函數的導函數為
這邊只證明arcsinx的導函數，剩下的有興趣的人可以用類似的方法證

[ 本文最後由 傲月光希 於 08-1-30 01:54 PM 編輯 ]

傲月光希

4.指數函數、對數函數及雙曲函數的導數
對數函數
在講指數函數之前，必須要先講對數函數。
我們在微積分中，對數的底數是自然對數e，所以在微積分中，lnx跟logx都指的是以e為底
而對f(x)=lnx微分的結果為1/x。
其實，我們知道x^n的積分是[x^(n+1)]/(n+1)，可是，x^(-1)=1/x的積分是多少呢?
不可能用x^n的積分公式來算，因為-1+1=0
所以，就有人定義lnx是1/x的積分，而e^x是lnx的反函數。

下列算的是對任意一個大於0且不等於1的底數作微分的結果

指數函數
我們在微積分中的指數函數是f(x)=e^x以及f(x)=a^x，e是自然對數，本身是無理數；a是任意不為0或1的實數。
首先，我們就要來算e^x的導函數是多少。(要直接用導數定義來算是不太可能的)

另一方面，我們也可以先有指數函數，然後當x>0時，再定義lnx為e^x的反函數
這邊提供了e^x跟lnx的導數計算(由蓮花蝶同學提供)

其次，a^x的導數為

雙曲函數
雙曲函數有
1.sinh x=[e^x-e^(-x)]/2
2.cosh x=[e^x-e^(-x)]/2
3.tanh x=sinh x/cosh x
4.coth x=cosh x/sinh x
5..sech x=1/cosh x
6.csch x=1/sinh x
而它們的導函數分別為
是不是長得跟三角函數的導函數很像?

[ 本文最後由 傲月光希 於 08-1-30 01:53 PM 編輯 ]

傲月光希

5.羅必達法則(L'Hospital's Theorem)
這個是我們用來求函數極限的定理，它的敘述如下：
也就是說，分子跟分母的函數極限同時為0或無窮大，就有此結果。
無窮大的部分不一定要是正的，一個是負的也行，因為多乘一個負號就變正的。
證明很簡單，我們只證明等於0的時候。

結語：其實微分的應用在分析上的理論也算是蠻重要的，而今天這篇文章主要只是講計算的部分，所以說，對理論有興趣的人可以來找大家討論或者是讀數學系喔！

蓮花蝶

你的洛必达发则证明不正确
第一个等号就错了

傲月光希

原文由 蓮花蝶 於 08-1-29 11:42 AM 發表 [原文]
你的洛必达发则证明不正确
第一个等号就错了

我們都知道可微必連續，而且我只證明第一種情況

因此本來就可以知道f(c)=g(c)=0，否則不連續

所以第一個等號可以成立

蓮花蝶

原文由 傲月光希 於 08-1-19 23:43 發表 [原文]
4.指數函數、對數函數及雙曲函數的導數
對數函數
在講指數函數之前，必須要先講對數函數。
我們在微積分中，對數的底數是自然對數e，所以在微積分中，lnx跟logx都指的是以e為底
而對f(x)=lnx微分的結果為1/x。
其實，我們知道x^n的積分是[x^(n+1)]/(n+1)，可是，x^(-1)=1/x的積分是多少呢?
不可能用x^n的積分公式來算，因為-1+1=0
所以，就有人定義lnx是1/x的積分，而e^x是lnx的反函數。

實際上，先有的指數函數，才把對數函數定義為指數函數的反函數

傲月光希

原文由 蓮花蝶 於 08-1-30 10:13 AM 發表 [原文]

實際上，先有的指數函數，才把對數函數定義為指數函數的反函數

你說的也很對，不過，我的版本是從ptt數學版上某個人的回覆所用的

我查過英文的維基，它也是將lnx定義成1/t從一個常數a積到x的定積分

資料來源：英文維基
Definitions

Formally, ln(a) may be defined as the area under the graph (integral) of 1/x from 1 to a, that is,

   

在這個定義下，自然也要將e^x定義成lnx的反函數，或者去證明它

關於你的證明，我會將它列入我上面的教學中，不過要先要有你的同意

另一個問題，你算的lim(e^h-1)/h的第三第四個等號我不太明白，能否在說明一下?謝謝

[ 本文最後由 傲月光希 於 08-1-30 10:45 AM 編輯 ]

蓮花蝶

原文由 傲月光希 於 08-1-30 10:44 發表 [原文]

關於你的證明，我會將它列入我上面的教學中，不過要先要有你的同意

這個是可以的

原文由 傲月光希 於 08-1-30 10:44 發表 [原文]

另一個問題，你算的lim(e^h-1)/h的第三第四個等號我不太明白，能否在說明一下?謝謝

這個，e就是這樣定義的啊