多項式(1)

神乎其技滴小白

1.多項函數y=f(x)之圖形過(1,1),(2,10),(3,23),則f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)的餘式為?

2.若2x-3為整係數多項式f(x)=ax^3+bx^2+cx+(a+1)之因式,其中a為1~500這500個正整數之一,則此種a值有幾個?

M.N.M.

在下來玩難的
2.
3│a+1
=>a=3k+2(k為整數
又2│a
所以a為偶數=>k為偶數
1≦a≦500
=>1≦3k+2≦500
=>-(1/3)≦k≦166
又k為偶數
所以k=0、2、4、...、166共84個
即a值有84個

神乎其技滴小白

[quote=M.N.M.]在下來玩難的
2.
3│a+1
=>a=3k+2(k為整數
又2│a
所以a為偶數=>k為偶數
1≦a≦500
=>1≦3k+2≦500
=>-(1/3)≦k≦166
又k為偶數
所以k=0、2、4、...、166共84個
即a值有84個[/quote]
呵呵^^

勇於挑戰喔!

神乎其技滴小白

[解答]

令f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)*q(x)+a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c
===>f(1)=1,f(2)=10,f(3)=23

則f(1)=c=1 , f(2)=b+c=10 所以b=9
f(3)=2a+2b+c=23, 所以a=2

所以餘式為2(x-1)(x-2)+9(x-1)+1=2(x^2)+3x-4

M.N.M.

[quote=神乎其技滴小白][解答]

令f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)*q(x)+a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c
===>f(1)=1,f(2)=10,f(3)=23

則f(1)=c=1 , f(2)=b+c=10 所以b=9
f(3)=2a+2b+c=23, 所以a=2

所以餘式為2(x-1)(x-2)+9(x-1)+1=2(x^2)+3x-4[/quote]
另解:國中解法
因為除式是三次多項式，所以餘式最高次只可能為二次多項式
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)q(x)+ax^2+bx+c
f(1)=1=a+b+c
f(2)=10=4a+2b+c
f(3)=23=9a+3b+c
a=2,b=3,c=-4
所以餘式為2(x^2)+3x-4