國3生的問題

阿B

最近老師給了奇怪的題目
把想的到的公式都用過了
大大幫忙一下吧
1. 證(1+2+3+...+n)²=1³+2³+3³+....+n³

2.1~2000中
a1>a2>a3>...>a1000
b1<b2<b3<...<b1000
則 │a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+....+│a1000-b1000│=?

飛天神劍

1. 1+2+3+...+n=n*(n+1)/2
1³+2³+3³+....+n³=[n*(n+1)/2]²...............這是公式
所以(1+2+3+...+n)²=1³+2³+3³+....+n³

M.N.M.

1.
首先要先知道(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6
註:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

...(1+1)^3-1=3*1^2+3*1+1
...(2+1)^3-1=3*2^2+3*2+1
.
.
.
+)(n+1)^3-n^3=3*n^2-3*n+1
________________________________________________________
(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n

3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)
=(n+1)^3-3(1+2+3+...+n)-(n+1)
=(n+1)^3-3[n(n+1)/2]-(n+1)...............自己化簡吧
=[n(n+1)(2n+1)]/2

所以(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6
----------------------------------------------------------------
註:(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1

...2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
...3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
.
.
.
+)(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
______________________________________
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2....+n)+n
=>(n+1)^4-6(1^2+2^2+...+n^2)-4(1+2+...+n)-(n+1)=4(1^3+2^3+...+n^3)

註:(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6
4(1^3+2^3+...+n^3)=(n+1)^4-6(1^2+2^2+...+n^2)-4(1+2+...+n)-(n+1)
=(n+1)^4-6[n(n+1)(2n+1)/6]-4[n(n+1)/2]-(n+1).......自己化簡吧
=[(n+1)n/2]^2

所以1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2=(1+2+...+n)^2

阿B

找了一下規律    第2題應該是1000000
但是為什麼會這樣連我也搞不懂

a26926236

= = 國三的題目有那麼困難嗎
(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6
這個也沒上到 還有三次方的也沒交到~~
如果懂得的大大 可否說明三次方的公式 以及這些的關係

M.N.M.

[quote=a26926236]= = 國三的題目有那麼困難嗎
(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6
這個也沒上到 還有三次方的也沒交到~~
如果懂得的大大 可否說明三次方的公式 以及這些的關係[/quote]
在下到是不知道，還是要看老師想不想教的
三次式的公式證明在下有打上去
在下的這種證法是國中也適用的
這只是用特別的方法證明出來的公式

M.N.M.

不會也是沒關係的，因為這要到高一才會教呀
國中不過是教基礎的級數而已
而且到高一還有更簡單的證法，稱為數學歸納法XD

討厭芥茉a生魚片

這應該是高一"數列級數"那章的公式
證明要用歸納法
國三不會出現這種東東吧@ @"
上了高中以後，原本國中要算很久的題目
代一下公式就解決了

Sinywan

[quote=阿B]
2.1~2000中
a1>a2>a3>...>a1000
b1<b2<b3<...<b1000
則 │a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+....+│a1000-b1000│=?[/quote]


來說說我對第２題的想法～
不知道那個”1~2000中”是指哪個代號，如果是說a和b
那我覺得這題光”a1>a2>a3>...>a1000”就不成立了
因ａ為１～２０００中的數字，怎麼乘都會變大，全部同除ａ之後也不成立（１＞２＞３....>1000）
所以我認為無解說......

writedream

我是假設1~2000是由a1.......a1000 和 b1.......b1000 兩個數列組成，
根據 a1>a2>a3>...>a1000 => 再假設a1=1000，a2=999，.......那a1000=1
根據 b1<b2<b3<...<b1000 => 再假設b1=1001，b2=1002，.......那b1000=2000
則 │a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+....+│a1000-b1000│
  = |1|+|-3|+....|-1999|
  = 1000(1+1999)/2
  = 1000000