有問題想請問大家(排列組合)

上官殘心

我是高二的學生 學校考卷有幾題問題想請教各位

1 有一辦公室有5個門 甲乙丙三人由不同門進入 再由不同門出去 且每人不可由同一門進出
試問方法共有幾種?

2 設有甲乙丙丁戊己庚等七人排成一列 則甲乙均不與丙丁相臨鄰之排法共有幾種?

3設某次月考共有三大題 每一大題有5小題 今規定每一大題至少作2小題 且限定共作10小題
則共有幾種不同的答題方法?


謝謝大家

(不好意思 因為要上學 可能下星期六才能上線)

red04101014D

1.由甲先進入有5種選擇
再來是乙進入剩4種選擇
最後是丙進入剩3種選擇
再來是大家由不同門出去各有4種選擇
所以有5*4*3*4*4*4=3840
Ans:3840種
2.先排戊己庚共有3！的選擇
再插入甲跟乙有甲乙相鄰或不相鄰的選擇
最後再插入丙跟丁有相鄰或不相鄰的選擇
共有3!*C(4，1)*2!*C(3，1)*2!+3!*C(4，1)*2!*C(3，2)*2!+3!*C(4，2)*2!*C(2，1)*2!+3!*C(4，2)*2!*C(2，2)*2!=504
Ans:504種
3.先去掉預定要做的6題(因為3*2)剩下4題
4小題可排列為H(３，４)-C(3，1)=C(3+4-1，4)-C(3，1)=12
Ans:12種

scotten

照理說第一題跟第三題的答案應該是錯的
第一題
   顯然出門的方法不可能是4*4*4一定會卡到
   例：有ABCDE五門，若甲由A門進入，乙由B門進入，丙由C門進入
        設甲由D門出來，則乙可以出來的們只剩三種選擇了
第三題
   顯然你沒有考慮到每一小題應該看做是不同的題目

scotten

3.
x+y+z=10且2<=x,y,z<=5
設x>=y>=z，則解只有(5,3,2),(4,4,2),(4,3,3)三種
(1)(x,y,z)=(5,3,2)
解法為C(3,1)[C(2,1)C(5,3)][C(1,1)C(5,2)]=600
(2)(x,y,z)=(4,4,2)
解法為[C(3,1)C(5,4)][C(2,1)C(5,4)][C(1,1)C(5,2)]=1500
(3)(x,y,z)=(4,3,3)
解法為[C(3,1)C(5,4)][C(2,1)C(5,3)][C(1,1)C(5,3)]=3000
所以共600+1500+3000=5100種

M.N.M.

1.
進入法有P(5，3)=60
碰到有限制的排列組合問題通常用[反面解法]或[排容原理]
出去法有C(3,0)P(5,3)-C(3,1)P(4,2)+C(3,2)P(3,1)-C(3,3)P(2,0)=32
根據乘法原理得知
60*32=1920

2.這題是兩個遇另兩個相鄰不相鄰，會有四種可能
(1)另3人先排,甲,乙,丙,丁四人插入間格
XYXYXYX(Y表示先排的三人)
排法=3!×P(4，4)=144
(2)另3人先排,甲乙相鄰,丙丁相鄰插入間格
XYXYXYX(Y表示先排的三人)，相鄰的為一組
排法=3!×P(4,2)×2!×2!=288
(3)另3人先排,甲乙相鄰,丙丁不相鄰插入間格
XYXYXYX(Y表示先排的三人)，甲乙為一組和丙、丁排
排法=3!×P(4,3)×2!=288
(4)另3人先排,甲乙不相鄰,丙丁相鄰插入間格
XYXYXYX(Y表示先排的三人)，丙丁為一組和甲、乙排
排法=3!×P(4,3)×2!=288
根據加法原理得知
144+3×288=1008

3.這題可用反面思考，全排列扣除與題意不合的方法數
至少作2小題的反面就是最多做1小題
答題方法=15題任選10題-(某一大題沒答+某一大題恰答1題)
=C(15,10)-(3+C(5,1)×C(5,4)×C(5,5)×3!)
=3003-3-150
=2850

a26926236

至少作2小題的反面就是最多做1小題
大大~~這裡是否怪怪的  至少=最少要完成2小提
所以  最多做一小提 這兩個是否有衝突到了!? 請大大指教
以及 這些可以用國三的機率嘗試作嗎@@" 請懂得的大大指教

M.N.M.

[quote=a26926236]至少作2小題的反面就是最多做1小題
大大~~這裡是否怪怪的 至少=最少要完成2小提
所以 最多做一小提 這兩個是否有衝突到了!? 請大大指教
以及 這些可以用國三的機率嘗試作嗎@@" 請懂得的大大指教[/quote]
最少完成兩小題是指題數必須大於等於2
而大於等於2的相反就是小於2，即最多只能做到一題(因為題數是0或正整數)
題數最少是0，所以只有考慮某一大題沒答和某一大題恰答1題

三題最基本也要會階乘才行，但是國中沒教階乘用於排列...等等的概念
所以用國中的方法是不行的

a26926236

最少完成兩小題是指題數必須大於等於2
而大於等於2的相反就是小於2，即最多只能做到一題(因為題數是0或正整數)
題數最少是0，所以只有考慮某一大題沒答和某一大題恰答1題
謝謝大大的回應 我沒看好 三Q

三題最基本也要會階乘才行，但是國中沒教階乘用於排列...等等的概念
所以用國中的方法是不行的
謝謝大大的回應

上官殘心

謝謝ＭＮＭ   答案都是正確的
不過有些疑問想問一下
1.
進入法有P(5，3)=60
碰到有限制的排列組合問題通常用[反面解法]或[排容原理]
出去法有C(3,0)P(5,3)-C(3,1)P(4,2)+C(3,2)P(3,1)-C(3,3)P(2,0)=32
根據乘法原理得知
60*32=1920
為什麼要先c(3.0)p(5.3)....還有代表的意義(加什麼減什麼)

3.這題可用反面思考，全排列扣除與題意不合的方法數
至少作2小題的反面就是最多做1小題
答題方法=15題任選10題-(某一大題沒答+某一大題恰答1題)
=C(15,10)-(3+C(5,1)×C(5,4)×C(5,5)×3!)
某一大題沒做我看懂但後面C(5,1)×C(5,4)×C(5,5)×3!就看不懂了
c(5.1)跟c(5.4)不是一樣的嗎還有最後乘的3!

不好意思 我真的看不懂為什麼要那麼做可以再解釋的更清楚一點嗎 謝謝

M.N.M.

[quote=上官殘心]謝謝ＭＮＭ 答案都是正確的
不過有些疑問想問一下
1.
進入法有P(5，3)=60
碰到有限制的排列組合問題通常用[反面解法]或[排容原理]
出去法有C(3,0)P(5,3)-C(3,1)P(4,2)+C(3,2)P(3,1)-C(3,3)P(2,0)=32
根據乘法原理得知
60*32=1920
為什麼要先c(3.0)p(5.3)....還有代表的意義(加什麼減什麼)

3.這題可用反面思考，...[/quote]
在下還是個學生而已
沒辦法像老師解的這麼好
第一題在下只是套了排容原理的算法而已
三人受限所以用了C(3，0)，P(5，3)是五個門選三個門排列
階下就是根據用排容原理排下去XD

反面思考除了多練習，才能判斷出是否要用此法解
能夠某一大題恰答1題的組合是這樣的(1，4，5)，再來就是(1，4，5)的排法數有3!
所以算式就變這樣C(5,1)×C(5,4)×C(5,5)×3!