挑戰29

M.N.M.

1.一個三角形的三邊的長度為相繼的三個整數，其最大角為最小角的兩倍，則最小角的餘弦為?

2.在八進制的數字表示中，一個完全平方數為ab3c，其中a不為0，則c為何值?

3.在黑板上從1開始，寫出一組相繼的正整數，然後擦去了一個數，其餘數的平均值為35又7/17，問擦去的數是什麼數?

red04101014D

3.設總共到n數去掉的數為a
[(1+n)*n]/2-a=35又7/17*(n-1)
a=(17n^2-1187n+1204)/34
=[17n(n-69)+14*(86-n)]/34
因為a>0所以n>=69
又因17為(n-1)的倍數
所以n為69.86....
a為7.731....
因n>=a
所以消去的數為7

M.N.M.

[quote=red04101014D]3.設總共到n數去掉的數為a
[(1+n)*n]/2-a=35又7/17*(n-1)
a=(17n^2-1187n+1204)/34
=[17n(n-69)+14*(86-n)]/34
因為a>0所以n>=69
又因17為(n-1)的倍數
所以n為69.86....
a為7.731....
因n>=a
所以消去的數為7[/quote]
由你的假設得知n是正整數
所以n應為69
解是正確了XD

M.N.M.

解答
1.設三邊長為x-1，x，x+1，則x-1所的角為角A
正弦定理
(x+1)/sin2A=(x-1)/sinA
=>(x+1)/2sinAcosA=(x-1)/sinA
=>cosA=(x+1)/2(x-1)

餘弦定理
cosA=(x+1)/2(x-1)=[(x^2)+(x+1)^2-(x-1)^2]/2x(x+1)
=>x=5

所以cosA=3/4

2.
令n^2=a*(8^3)+b*(8^2)+3*8+c，此時c只能為0~7
若n為奇數，則n^2/8的餘數為1，則c=1
若c為偶數，則n^2為4的倍數，則c=0 or 4
若c=0，則n^2=8(a*8^2+b*8+3)是8的奇數倍，所以不是完全平方數
若c=4，則n^2=4(2a*8^2+2b*8+7)，(2a*8^2+2b*8+7)是奇數且除以8餘7，故不能為奇數的平方

由以上結論得知c=1

3.red04101014D已解出