挑戰35

M.N.M.

1.在三角形ABC中，(1)若cotA/2，cotB/2，cotC/2成等差數列，
求(tanA/2)×(tanC/2)之值(2)求[cosA/(sinBsinc)]+[cosB/(sinCsinA)]+
[cosC/(sinAsinB)=?

2.設四邊形ABCD中,AC=AD,∠ABD=90°,∠DAC=α,
∠DBC=β,∠DAB=γ,若sinα=3/5,cosβ=5/13,
求tanγ=？

上官殘心

1.(1)cotA/2+cotB/2+cotC/2=cotA/2*cotB/2*cotC/2~~~(1)
     因為成等差 所以cotA/2+cotB/2+cotC/2=3cotB/2~~~(2)
                由(1)(2)   cotA/2*cotB/2=3
                             所以tanA/2*tanB/2=1/3
               ANS=1/3

小小榨乾

(1) 在三角形ABC中
A/2+B/2+C/2=兀/2
=> A/2+C/2=兀/2-B/2........<1>

因為等差 所以cotA/2+cotC/2=2cotB/2
=> cotB/2=(cotA/2+cotC/2)/2
=(tanA/2+tanC/2)/(2tanA/2*tanC/2).......<2>

由<1>可推得 tan(A/2+C/2)=tan(兀/2-B/2)=cotB/2.....<3>
<2>代入<3>可得
(tanA/2+tanC/2)/(1-tanA/2*tanC/2)
=(tanA/2+tanC/2)/(2tanA/2*tanC/2)

=> 1-tanA/2*tanC/2=2tanA/2*tanC/2
=> tanA/2*tanC/2=1/3

M.N.M.

[解答]
1.
(1)樓上兩位已解出
(2)
cotαcotβ+cotβcotγ+cotγcotα=1
原式={[-(cosBcosC-sinBsinC)]/(sinBsinC)}+{[-(cosBcosC-sinBsinC)]/(sinBsinC)}+
(cosBcosC-sinBsinC)]/sinBsinC)}
=(1-cotBcotC)+(1-cotCcotA)+(1-cotAcotB)
=3-(cotBcotC+cotCcotA+cotAcotB)
=3-1
=2
其實將三個角用60度代入就能解了

2.分4個步驟
(1)sinα=3/5，cosα=4/5
利用半角公式sin(α/2)=1/√10，cos(α/2)=3/√10
cosβ=5/13，sinβ=12/13

(2)令AB=x，BD=y，AD=z
∠BDC=∠BAE=γ-(α/2)
CD=2DE=2*z*sin(α/2)=(√10/5)z

(3)在三角形BCD中，由正弦定理
CD/sinβ=BC/sin(r-(α/2))
=> BC=13(3y-x)/60

(4)在三角形ABC中，由正弦定理
BC/sin(γ-α)=AC/sin(90°+β)
=> (3y-x)/12=(4y-3x)/5
=> 31x=33y
=> (y/x)=31/33
=> tanγ=31/33