關於Cayley-Hamilton定理

天下聖凱

最近學矩陣 碰到了這個定理

A為二階方陣
[a  b]
[c  d]  (小弟不會表示OTL)
則A^2-(a+d)A+(ad-bc)I2=0

關於這個定理的証明  
老師也只是把一項項算出來加減 結果正好等於0方陣得証
有沒有不是這種方法而能證明的??

[ 本文最後由 天下聖凱 於 06-7-17 11:40 AM 編輯 ]

M.N.M.

忘了提到I為
[1 0]
[0 1]
A^2-(a+d)A+(ad-bc)I
=
[a^2+bc ab+bd]    [a(a+d) b(a+d)]  [ad-bc 0]
[ac+cd   bc+d^2]-[c(a+d) d(a+d)] +[   0   ad-bc]  
=
[0 0]
[0 0]

搞不好是一樣的做法(毆飛

hope10378

A= [a b]   ,  I=[1 0]
     [c d]         [0 1]
     
la-x bl=0
lc d-xl
上面是行列式
=>(x-d)(x-a)-bc=0
=>x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0
然後把X換成A就可以了

好像有點......

[ 本文最後由 hope10378 於 06-7-17 06:22 PM 編輯 ]

青雲

這項定理的證明...
這個勒...
據我所知...
還是等到大學在知道唄...
高中生大都直接用它的結果...
(可見應該也是很煩人的那種吧...)

結論...
我也不知道...

天下聖凱

原文由 青雲 於 06-7-17 09:01 PM 發表
這項定理的證明...
這個勒...
據我所知...
還是等到大學在知道唄...
高中生大都直接用它的結果...
(可見應該也是很煩人的那種吧...)

結論...
我也 ...

有想要去借老姊的線代的書來看OTL

傲月光希

這是我的做法：(注：A^(-1)=A的反函數 ,adjA=adjoint of A)
　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　 [d -b]
I2=A*A^(-1)=A*(1/detA)(adjA)=A*(1/detA)[-c a]

                  [d -b]
(detA)I2=A*[-c a]

  [d -b]
-[-c a]*A+(detA)I2=0

[-d b]
[c -a]*A+(detA)I2=0

  [a b]  [-a-d 0]  
([c d]+[0 -a-d])*A+(detA)I2=0

(A-(a+d)I2)*A+(detA)I2=0

A^2-(a+d)A+(ad-bc)I2=0...得証

我的想法，如果錯了就算了（…(¯ε￣( ○─(ˋ□ˊ)┐毆打）

天下聖凱

原文由 傲月光希 於 06-7-27 07:53 PM 發表
這是我的做法：(注：A^(-1)=A的反函數 ,adjA=adjoint of A)

紅色部分是什麼意思呢...?
抱歉我孤陋寡聞 還沒學到OTL

M.N.M.

原文由 天下聖凱 於 06-7-28 01:20 AM 發表

紅色部分是什麼意思呢...?
抱歉我孤陋寡聞 還沒學到OTL

其實只是英文不知而已

adjoint=共軛