兩題家教中遇到的題目

傲月光希

我剛剛家教的時候遇到了兩題我一直沒啥頭緒的題目，請各位幫想想(都是雄中課外補充教材)

1.設a屬於Ｎ，61≦a≦300，若ax+60y=5有整數解，則a的個數有＿個。(一點頭緒都沒)
2.一自然數n除以7餘5，除以6餘1，除以5餘2，若200≦n≦1200，則滿足這些條件的n總和為
　＿＿。(這題我還想不到簡易解法，只能用倍數定義去代)

補充：在多問一個，請問"(a,b)=1,where a,b∈Ｎ ⇔there exist
x,y∈Ｎ such that ax+by=1"這個定義高中就有了嗎？

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-7-23 12:29 AM 編輯 ]

aeoexe

原文由 傲月光希 於 06-7-22 10:32 PM 發表
我剛剛家教的時候遇到了兩題我一直沒啥頭緒的題目，請各位幫想想(都是雄中課外補充教材)

1.設a屬於Ｎ，61≦a≦300，若ax+60y=5有整數解，則a的個敠...

1.
我唯一的頭緒是:
ax+60y=5
=>ax=5-60y
=>x=5(1-12y)/a
所以只需要a能整除(1-12y)OR 5的話,
就可以令x變成整數.....
2.
最少的數能除以7餘5，除以6餘1，除以5餘2是397....
然後把397不斷+210得到的就是符合以上條件的數....
即是符合條件的數有:
397,607,817(再加就>1000了....)
把三數加起來=1821....

[ 本文最後由 aeoexe 於 06-7-22 11:13 PM 編輯 ]

傲月光希

原文由 aeoexe 於 06-7-22 11:04 PM 發表

2.
最少的數能除以7餘5，除以6餘1，除以5餘2是397....
然後把397不斷+210得到的就是符合以上條件的數....
即是符合條件的數有:
397,607,817(再加就>100 ...

答案不對喔，我記得答案不是這樣

補：我知道了，你少加1027(因為題目是要a小於等於1200)，這樣題目就對了

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-7-22 11:21 PM 編輯 ]

aeoexe

原文由 傲月光希 於 06-7-22 11:08 PM 發表


答案不對喔，我記得答案不是這樣

我看漏一些東西....
正確答案是:
397+607+817+1027=2848....

傲月光希

原文由 aeoexe 於 06-7-22 11:16 PM 發表

我看漏一些東西....
正確答案是:
397+607+817+1027=2848....

你可以說明一下你找397的找法嗎?
我算的時候我是把題目變換一下變成
7∣n-5,6｜n-1,5｜n-2(A｜B=B是A的倍數或A是B的因數)
先看5的部分可以將n有規律的找出，n=202,207,212,217,...,1192,1197
然後n-1=201,206,211,...,1196
n-1=□□1的部分不可能是6的倍數，所以n必等於207,217,...,1197
之後在慢慢檢查是6的最小倍數是哪些，然後在從找過的在分出7的倍數
但是因為太麻煩了，我想說有沒有比較簡易的方法

aeoexe

原文由 傲月光希 於 06-7-22 11:32 PM 發表

你可以說明一下你找397的找法嗎?
我算的時候我是把題目變換一下變成
7∣n-5,6｜n-1,5｜n-2(A｜B=B是A的倍數或A是B的因數)
先看5的部分可以將n有規律砮..

我沒有學過甚麼因式定理這類....
我只是可以唯一肯定的是....
N是一個尾數為7的數....
只著就慢慢猜了....

傲月光希

原文由 傲月光希 於 06-7-22 10:32 PM 發表
我剛剛家教的時候遇到了兩題我一直沒啥頭緒的題目，請各位幫想想(都是雄中課外補充教材)

1.設a屬於Ｎ，61≦a≦300，若ax+60y=5有整數解，則a的個...

關於第一題的部分我問過學姊已經解出來了，利用我補充的那個定義去解。
將ax+60y=5兩邊同除以5得(a/5)x+12y=1
然後再用互質定義，我們可以知道(a/5,12)=1
(因為定義是說對於兩個正整數a,b，存在兩正整數x,y使得它們的最大公因數d能寫成原本兩數的線性組合，也就是ax+by=d，這對任何最大公因數都成立，這個定義雖然學姊說高中就有，不過我到大學整數論我才知道有這樣定義)
所以我們只要求出那些滿足(a/5,12)=1的a的個數就行了
由此看來知道幾個條件：1.a必為5的倍數 2.a不可能是2或3的倍數(因為12=3*2^2)
所以a=65,85,95,115,125,145,155,175,185,205,215,235,245,265,275,295
所以a有16個

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-7-23 12:50 PM 編輯 ]

M.N.M.

這兩題用簡單的思考大概是行不通吧= =a
k=2,3,5時，300/k與60/k皆為整數，故[300/k]-[60/k]=240/k
a不可為2或3倍數，a有240-(240/2)-(240/3)+(240/6)=240*(2/6)=80個

2.
設x=7a+5=6b+1=5c+2(a，b，c均為0或N)

7a+5=6b+1
=>a=(6b-4)/7
當b=3時，a=2

所以7a+5=6b+1
=>7(a-2)+19=6(b-3)+19
7(a-2)與6(b-3)為相同就必須是[7，6]=42的倍數
所以
7(a-2)+19=6(b-3)+19=42k+19(K為0或N)

42k+19=5c+2
=>c=(42k+17)/5
當k=4時，c=37

42(k-4)+187=5(c-37)+187=210t+187(t為0或N)

210t+187<1200
k<4.‧‧‧

(210*1+187)+(210*2+187)+...+(210*4+187)
=210*(1+2+3+4)+187*4
=2848

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-7-23 01:01 PM 編輯 ]

傲月光希

原文由 M.N.M. 於 06-7-23 12:54 PM 發表
這兩題用簡單的思考大概是行不通吧= =a
k=2,3,5時，300/k與60/k皆為整數，故-=240/k
a不可為2或3倍數，a有240-(240/2)-(240/3)+(240/6)=240*(2/6)=80個

2.
設x=7a+5=6 ...

你能說明一下a為什麼不得為2跟3的倍數?

M.N.M.

原文由 傲月光希 於 06-7-23 04:35 PM 發表

你能說明一下a為什麼不得為2跟3的倍數?

原因你不是在#7已經知道了

在下思考方式跟你一樣

在下才發現在下漏了只能是5的倍數(囧

所以只有16個= =