挑戰44

M.N.M.

1.試證： (2538^n) + (2229^n) + (2001^n) - (90^n) - (675^n) - (529^n) 可以被
2737 整除。

2.當n自然數時, 使得 (2^8) + (2^12) + (2^14) - (2^n) 為完全平方數。求n值

xvmon123

2.
再來試試看....
提出2^8
所以=>2^8(1+2^4+2^6-2^n-8)=K^2
         =2^8(1+2*2^3+(2^3)^2-2^n-8))
         =2^8[(1+2^3)^2-2^n-8)]
         =2^8[1+2^3+2^(n-8)/2][1+2^3-2^(n-8)/2]
又[1+2^3-2^(n-8)/2]必大於1
所以[1+2^3-2^(n-8)/2]=9-2^(n-8)/2>1
所以n必小於16(9-16=-7)
n=1帶入    n=2帶入..........................................n=15帶入
又n必大於8(分數配不出完全平方
經過愛與勇氣友情的試練
n=13帶入時2^8(9+2^5/2)(9-2^5/2)=2^8(81-32)=2^8(49)=2^8*7^2
小宇宙萬歲~~~~~~~~~

[ 本文最後由 xvmon123 於 06-7-31 09:15 PM 編輯 ]

M.N.M.

原文由 xvmon123 於 06-7-31 04:44 PM 發表
再來試試看....
提出2^8
所以=>2^8(1+2^4+2^6-2^n-8)=K^2
         =2^8(1+2*2^3+(2^3)^2-2^n-8))
         =2^8
         =2^8
又必大於1
所以=9-2^(n-8)/2>1
所以n必小於16( ...

可惜並不正解，不過蠻接近的(拍肩

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原來是在下資料上的解答解錯了

13是正確的，聲望+5表示歉意

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-7-31 05:30 PM 編輯 ]

神光

1.試證： (2538^n) + (2229^n) + (2001^n) - (90^n) - (675^n) - (529^n) 可以被2737 整除。

設f(n)=(2538^n) + (2229^n) + (2001^n) - (90^n) - (675^n) - (529^n)

∵(2538^n)-(529^n) , (2229^n)-(675^n) 和 (2001^n) - (90^n) 可被7整除
∴f(n)可寫為=7a+7b+7c=7(a+b+c)

又,∵(2538^n)-(90^n) , (2229^n)-(529^n) 和 (2001^n)-(675^n) 可被17整除
∴f(n)可寫為=17d+17e+17f=17(d+e+f)

同理,∵(2538^n)-(675^n) , (2229^n)-(90^n) 和 (2001^n)-(529^n) 可被23整除
∴f(n)可寫為=23g+23h+23k=23(g+h+k)

∵7*17*23=2737 , f(n)均可被7,17,23整除
∴(2538^n) + (2229^n) + (2001^n) - (90^n) - (675^n) - (529^n) 可以被2737 整除。

M.N.M.

解答:
1.神光已解出

2.xvmon123已解出

在下的解法
設2^8+2^12+2^14-2^n=x^2
=>(2^8)(1+2^4+2^6)-x^2=n^2
=>[(2^4)*(3^2)]^2-x^2=n^2
=>(144+x)(144-x)=n^2

設144+x=2^a，144-x=2^b(a>b)
144+x=2^a......(1)
144-x=2^b......(2)

(1)+(2)=>288=2^a+2^b
=>(2^5)*9=(2^b)[2^(a-b)+1]

2^b=2^5=>b=5

2^(a-b)+1=9=>a=8

2^n=(2^a)*(2^b)=2^(a+b)=2^13
=>n=13