挑戰45

M.N.M.

1.已知三角形ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，並且使AE=BD，連結CE、DE，若
CE=8，則ED=?

2.試證:(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(2005/2006)<(1/2006)^(1/2)

迷糊小書僮

1.已知三角形ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，並且使AE=BD，連結CE、DE，若
CE=8，則ED=?

我不畫圖了

由題目可知AE=BD則我們設三角形ABC的邊長為a，CD為b，再設ED為n
則AE=a+b
我們用餘旋定理可知

cos60°=a^2+(2a+b)^2-64/2a(2a+b)
算出來    3a^2+3ab+b^2-64=0---------------------------(1)

cos60°=(a+b)^2+(2a+b)^2-n^2/2(a+b)(2a+b)
算出來    3a^2+3ab+b^2-n^2=0--------------------------(2)
(1)和(2)對照得知       n^2=64
則                    n=8


ED距離為8

應該對吧

M.N.M.

[解答]

1.迷糊小書僮已解出

2.
首先要先知道這個:若m>n(m、n∈N)，則(n+1)/(m+1)>n/m
證:(n+1)/(m+1)>n/m
=>mn+m>nm+n
=>m>n
故得證
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設
(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(2005/2006)=A
(2/3)*(4/5)*(6/7)*...*(2006/2007)=B


A<B
=>A^2<AB
=>A^2<1/2007<1/2006
=>A<√(1/2006)
=>(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(2005/2006)<√(1/2006)

故得證