高中旋轉座標軸之線性代數證明(轉貼)

傲月光希

在數甲上課本有討論有關一般二元二次方程式(廣義圓錐曲線方程式)，
   如何轉換成標準式的方法。要除去x,y項可以用平移的方法來解決，
   主要的問題在於如何消去xy項。課本的方法是利用旋轉的方式來消去xy項，
   現在我們改成用線性代數的方法來看這個問題。

   考慮形式如 ax^2+bxy+cy^2,a,b,c 皆為實數，稱之為二次型(quadratic form)，
   我們想要知道怎麼利用變數變換把二次型的xy項消去。
   首先令矩陣
            A=[a   b/2]   X=[x]
                [b/2   c]      [y]

   則二次型可改寫為 X^tAX  其中 X^t 表示轉置矩陣。
   在線性代數課本有一個重要的定理說:
   若 A 為對稱(symmetric)矩陣(實係數)，
   則 A 可正交對角化(orthogonally diagonalizable) (其實反之亦然)

   所謂正交對角化是指能找到一個矩陣P，其中P滿足其行向量互相垂直(內積為0)，
   且 P^tAP=D , D 為對角矩陣。且(以二階為例)
         D=[r1   0]
             [0   r2]
   r1,r2 為A的特徵值(eigenvalues) ，相關定理證明可參考任何一本線性代數課本。

   換句話說，每個二次型都可以轉換成 r1x'^2+r2y'^2
   所以只要能找到矩陣P(利用特徵向量)，就能轉換二次型。
   在雙變數的情況下，P剛好就是旋轉矩陣。

   當然，三元二次方程式也可以變換成這樣的方程式。
   比如說下面這樣的問題
   「試寫出一個變數變換使得 3x^2+2y^2+3z^2-2xy-2yz=10 的 xy,yz 項消失，
   並寫出新的方程式(93 屏北高中教師甄選)」

   利用對角化這個問題就變成 a piece of cake 囉！
   答案應該是 x^2+3y^2+4z^2=10

轉自"高師大魔數空間－考試&考古題討論區"的killer大大

補充：有一n*n的矩陣A滿足AX=λX，則λ稱為特徵值(eigen value)，X稱為特徵向量(eigen vector)，(λ,X)稱為特徵對(eigen pair)
eigen:kk['aigεn]

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-8-15 08:49 PM 編輯 ]