挑戰48

M.N.M.

1.已知a(y-z)=b(z-x)=c(x-y)，a、b、c皆不為0，證:
(y-z)/[a(b+c)]=(z-x)/[b(c+a)]=(x-y)/[c(a+b)]

2.已知(x^3)+(y^3)-(z^3)=96，xyz=4，(x^2)+(y^2)+(z^2)-xy+yz+zx=12，則
x+y-z=?

3. 若x-1=(y+1)/2=(z-2)/3，則(x^2)+(y^2)+(z^2)的最小值為何?

神光

2. 已知(x^3)+(y^3)-(z^3)=96，xyz=4，(x^2)+(y^2)+(z^2)-xy+yz+zx=12，則
x+y-z=?

x^2+y^2+z^2-xy+yz+zx=12
x^3+xy^2+xz^2-yx^2+xyz+zx^2=12x
(96+z^3-y^3)+xy^2+xz^2-yx^2+4+zx^2=12x      (x^3=96+z^3-y^3 & xyz=4)
100+(z-y)(z^2+yz+y^2)+((z-y)x^2+xy^2+xz^2=12x
100+(z-y)(x^2+y^2+z^2+yz)+xy^2+xz^2=12x
100+(z-y)(12+xy-zx)+xy^2+xz^2=12x                  (x^2+y^2+z^2+yz=12+xy-zx)
100+12z+xyz-xz^2-12y-xy^2+xyz+xy^2+xz^2=12x
100+4+4=12x+12y-12z
∴x+y-z=9

eton

3.
設
   x=t+1
   y=2t-1
   z=3t+2
代入
       (t+1)^2+(2t-1)^2+(3t+2)^2
   =14t^2+10t+6
   =14(t+5/7)^2-8/7
最小值為-8/7

用最樸素的算法
不知道有沒有錯

[ 本文最後由 eton 於 06-8-16 06:12 PM 編輯 ]

傲月光希

1.已知a(y-z)=b(z-x)=c(x-y)，a、b、c皆不為0，證:
(y-z)/[a(b+c)]=(z-x)/[b(c+a)]=(x-y)/[c(a+b)]

設a(y-z)=b(z-x)=c(x-y)=t,t∈Ｒ
則
  y-z=t/a......(1)
{z-x=t/b......(2)
  x-y=t/c......(3)
(1)+(2)得y-x=t(a+b)/ab
(2)+(3)得z-y=t(b+c)/bc
(1)+(3)得x-z=t(a+c)/ac

所以t=ab(y-x)/(a+b)=bc(z-y)/(b+c)=ac(x-z)/(a+c)

同除(-abc)得(y-z)/[a(b+c)]=(z-x)/[b(c+a)]=(x-y)/[c(a+b)]

迷糊小書僮

3. 若x-1=(y+1)/2=(z-2)/3，則(x^2)+(y^2)+(z^2)的最小值為何?

設  x-1=(y+1)/2=(z-2)/3=t

則  x-1=t                       x=t-1
    (y+1)/2=t                 y=2t-1
    (z-2)/3=t                  z=3t+2

帶入(x^2)+(y^2)+(z^2)
則    (t+1)^2+(2t-1)^2+(3t+2)^2
     =14t^2+10t+6
     =14(t^2+5/7t)+6
     =14(t+5/14)^2+6-25/14
     =14(t+5/14)^2+59/14
則最小值是      59/14

eton應該是你計算錯了

沒錯吧...............錯了請指正

[ 本文最後由 迷糊小書僮 於 06-8-16 10:21 PM 編輯 ]

M.N.M.

原文由 傲月光希 於 06-8-16 06:47 PM 發表

設a(y-z)=b(z-x)=c(x-y)=t,t∈Ｒ
則
  y-z=t/a......(1)
{z-x=t/b......(2)
  x-y=t/c......(3)
(1)+(2)得y-x=t(a+b)/ab
(2)+(3)得z-y=t(b+c)/bc
(1)+(3)得x-z=t(a+c)/ac

所以t=ab(y-x)/(a+ ...

不完整，t=0情況有點不同呢

傲月光希

原文由 M.N.M. 於 06-8-16 10:31 PM 發表

不完整，t=0情況有點不同呢

哪裡不同?a,b,c都不為0，那t=0的時候x=y=z，那兩個式子都符合啊

M.N.M.

原文由 傲月光希 於 06-8-16 11:32 PM 發表

哪裡不同?a,b,c都不為0，那t=0的時候x=y=z，那兩個式子都符合啊

正解了

當t=0時，x=y=z=0

當t不為0又讓x、y、z相不相等就不重要了

在證明中，有使未知數出現特例是需要強調的

傲月光希

原文由 M.N.M. 於 06-8-17 12:41 AM 發表

正解了

當t=0時，x=y=z=0

當t不為0又讓x、y、z相不相等就不重要了

在證明中，有使未知數出現特例是需要強調的

那為什麼一定要x=y=z=0呢?不管等於多少算出來的答案都是t=0不是嗎?

M.N.M.

原文由 傲月光希 於 06-8-17 09:00 AM 發表

那為什麼一定要x=y=z=0呢?不管等於多少算出來的答案都是t=0不是嗎?

(y-z)+(z-x)+(x-y)=0
=>(t/a)+(t/b)+(t/c)=0

t為0時

因為(y-z)/[a(b+c)]=(z-x)/[b(c+a)]=(x-y)/[c(a+b)]的分母不一定相等

所以y-z=z-x=x-y=0
=>x=y=z=0

若t不為0

(t/a)+(t/b)+(t/c)=0
=>(1/a)+(1/b)+(1/c)=0
=>(ab+bc+ca)/abc=0
=>ab+bc+ca=0
=>a(b+c)=-bc
同理b(c+a)=-ca，c(a+b)=-ab

(y-z)/[a(b+c)]=(z-x)/[b(c+a)]=(x-y)/[c(a+b)]
=>(y-z)/-bc=(z-x)/(-ca)=(x-y)/(-ab)
=>a(y-z)=b(z-x)=c(x-y)

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-8-17 10:50 AM 編輯 ]