挑戰49

M.N.M.

1.求所有的正整數n，使得[n(n+1)/2]-1是一個質數

2.設n是大於1的正整數，證明:(n^5)+(n^4)+1不是質數

傲月光希

1.求所有的正整數n，使得[n(n+1)/2]-1是一個質數

[n(n+1)/2]-1=(n+2)(n-1)/2
因為上式要是質數，所以可能有n+2=1 or n+2=2 or n-1=1 or n-1=2 (∵ 2︱(n+2)(n-1) )
因此n可能有-1 0 2 3
(-1+2)(-1-1)/2=-1(X)
(0+2)(0-1)/2=-1(X)
(2+2)(2-1)/2=2(O)
(3+2)(3-1)/2=5(O)

故n=2跟3

傲月光希

2.設n是大於1的正整數，證明:(n^5)+(n^4)+1不是質數

(n-1)[(n^5)+(n^4)+(n^3)+(n^2)+n+1]=(n^6)-1
先將原式強制拆解
(n^5)+(n^4)+1
=[(n^6)-1]/(n-1)-[(n^3)+(n^2)+n]
={(n^6)-1-[(n^3)+(n^2)+n](n-1)}/(n-1)
={(n^6)-1-n[(n^2)+n+1](n-1)}/(n-1)
={(n^6)-1-n[(n^3)-1]}/(n-1)
={[(n^3)+1][(n^3)-1]-n[(n^3)-1]}/(n-1)
=[(n^3)-1][(n^3-n+1)]/(n-1)
=[(n^2)+n+1][(n^3)-n+1]

對所有n>1，(n^5)+(n^4)+1=[(n^2)+n+1][(n^3)-n+1]必為合成數(不是質數)，得證

所謂的合成數就是假設N為一合成數，則存在兩整數K、M>1使得N=KM

補充：若(n^2)+n+1=1，則n=0 or -1
        若(n^3)-n+1=1，則n=0 or 1 or -1

先補充，以免M大說話=ˇ=

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-8-19 12:17 AM 編輯 ]

M.N.M.

[解答]
1.傲月光希已解出

在下的
將n分成4k，4k+1，4k+2，4k+3

n=4k+1 or 4k+2時必為偶數
所以只能為[n(n+1)/2]-1=2
=>n=2

當n=4k時
[4k*(4k+1)/2]-1
=(4k-1)(2k+1)
為合數(不合)

當n=4k+3時
[(4k+3)(4k+4)/2]-1
=(4k+5)(2k+1)
僅當k=0時，n=3為質數

所以n=2，3

2.傲月光希已解出

在下的
(n^5)+(n^4)+1
=(n^5)+(n^4)+(n^3)-(n^3)+1
=(n^3)(n^2+n+1)-[(n^3)-1]
=(n^3)(n^2+n+1)-(n-1)(n^2+n+1)
=(n^3-n+1)(n^2+n+1)

若n^2+n+1=1時
n=0 or -1

若n^3-n+1=0時
n=0 or 1 or -1

若n>1時
(n^5)+(n^4)+1=[(n^2)+n+1][(n^3)-n+1]必為合成數

所以n>1時，(n^5)+(n^4)+1不是質數

故得證