2006 TRML

M.N.M.

http://59.124.78.164/modules/news/article.php?storyid=10

每一題詳解出來聲望+2，比較慢解出但做法不同還是一樣+2的

在下還沒全解出，一起努力吧

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格式:

XX賽 第X題

算式

例
個人賽 第2題
設log[size=-2]2 x=t t屬於R

原式= (12t-8)/(1+4t^2) =k
=>12t-8=k+4kt^2
=>4kt^2-12t+(k+8)=0
因為t為實數，所以D≧0
(-12)^2-4*(k+8)*4≧0
=>1≧k

所以當k=1為最大值

4t^2-12t+9=0
=>t=3/2，3/2

log[size=-2]2 x=3/2
=>x=a=2√2

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-8-22 05:16 PM 編輯 ]

傲月光希

個人賽 第1題
16^[(cosx)^2+2(sinx)^2]+4^[2(cosx)^2]=40

16^[2-(cosx)^2]+4^[2(cosx)^2]=40

4^[4-2(cosx)^2]+4^[2(cosx)^2]=40

256/{4^[2(cosx)^2}+4^[2(cosx)^2]=40

Let A=4^[2(cosx)^2].Then

256/A+A=40

A^2-40A+256=0

(A-32)(A-8)=0

We have A=4^[2(cosx)^2]=32 or 8(2^5 or 2^3)

(cosx)^2=5/4(X) or 3/4

cosx=±√3/2

Since　π/2<x<π,we have cosx=-√3/2

So tanx=-√3/3

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-8-22 05:55 PM 編輯 ]

傲月光希

個人賽 第5題
Let ∠BAH=θ, ∠CAH=φ,and AH=h.Then

tanθ=2/h,tanφ=3/h.

tan(θ+φ)=tan(π/4)=(tanθ+tanφ)/1-tanθtanφ=1

(2/h+3/h)/[1-(2/h)*(3/h)]=(5/h)/(1-6/h^2)=1

h^2-5h-6=0

(h-6)(h+1)=0

Therefore we have h=6 or -1(X) and so the area of the triangle ABC is 5*6/2=15.

神光

個人賽 第四題

　11x+√3y=kx --(1)
{ √3x+13y=ky --(2)
   x^2+y^2=1 --(3)

From (1),
x(11-K)=-√3y --(4)

From (2),
y(k-13)=√3x --(5)

(4)*(5),
xy(11-K)(k-13)=-3xy
11k-143-k^2+13k=-3
-k^2+24K-140=0
k^2-24K+140=0
(k-10)(k-14)=0
∴The maximum value of k is 14

(總覺得有錯誤,x^2+y^2=1沒用上)

[ 本文最後由 神光 於 06-8-22 07:15 PM 編輯 ]

傲月光希

團體賽 第1題
line BC^2=8^2+4^2-2*8*4*cos60=64+16-32=48

So BC=4√3.
Therefore ABC is a right triangle.


Thus 外接圓半徑=半個斜邊長=4

這題太少 在多加一題

團體賽 第2題
Let an+A=[(2n-1)/(2n+1)](an-1+A)

Then an=[(2n-1)/(2n+1)]an-1+[(2n-1)/(2n+1)]A-A=[(2n-1)/(2n+1)]an-1+[(-2)/(2n+1)]A

So A=-1/2.

a1-1/2=1/2
a2-1/2=(3/5)(a1-1/2)
a3-1/2=(5/7)(a2-1/2)
            .
            .
            .
an-1/2=[(2n-1)/(2n+1)](an-1-1/2)

Multiplying all of above,we have an-1/2=(1/2)(3/5)(5/7)…[(2n-1)/(2n+1)]=(3/2)[1/(2n+1)].

Then an=(3/2)[1/(2n+1)]+1/2.

Finally,find the minimum of n of an<51/100.

(3/2)[1/(2n+1)]+1/2<51/100
(3/2)[1/(2n+1)]<1/100
1/(2n+1)<1/150
2n+1>150
2n>149
n>74.5

Thus,n=75.

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-8-22 08:33 PM 編輯 ]

神光

個人賽 第一題

16^[(cosx)^2+2(sinx)^2]+4^[2(cosx)^2]=40
2^[4(cosx)^2+8(sinx)^2]+2^[4(cosx)^2]=2^5+2^3

∴{4(cosx)^2=3--(1) & 4(cosx)^2+8(sinx)^2=5--(2)

From (1)&(2),
8(sinx)^2=2
sinx=1/2 or sinx=-1/2
Since π/2<x<π,
∴x=5π/6
∴tanx=tan5π/6=-1/√3

[ 本文最後由 神光 於 06-8-23 11:19 AM 編輯 ]

神光

個人賽 第7題

已知圓與坐標軸的三個座標為(0,-110) , (-11/2,0) , (10/3,0)
利用圓方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,得出
  12100-110E+F=0 -----(1)
  121-22D+4F=0 ------(2)
  100+30D+9F=0 ----(3)
(2)*9-(3)*4,
簡化後得出 D=13/6
由(2)式得出 F=55/3
由(1)式得出 E=661/6

代入原式,
6x^2+6y^2+13x+661y+110=0

因為未知的交點在y軸上,所以代入x=0以求之
6y^2+661y+110=0

因為y軸上其中一點的座標為-110,該式可寫為
(y+110)(6y-k)=0
6y^2+(-k+660)y-110k=0
∴-k+660=661
    k=1
∴(y+110)(6y-1)=0
y=-110 or y=1/6
∴第四個交點是(0,1/6)

[ 本文最後由 神光 於 06-8-23 06:53 PM 編輯 ]

M.N.M.

原文由 神光 於 06-8-22 07:08 PM 發表
個人賽 第四題

　11x+√3y=kx --(1)
{ √3x+13y=ky --(2)
   x^2+y^2=1 --(3)

過程沒考慮到(1)(2)必過(0，0)

而(3)是為了讓(0，0)不合這條件的

因為(1)(2)能過(0，0)會使k值無限多解

補充在算式中吧
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個人賽 第5題

設AH=x，則AB=√(4+x^2)，AC=√(9+x^2)

(1/2)*[√(4+x^2)]*[√(9+x^2)]sin45° =(1/2)*(2+3)*x
=>x=6 or 1(1不合)

(1/2)*5*6=15

aeoexe

團體賽 第五題
設x=k^2
2^n+2^11+2^8=k^2
2^(n-8)+2^3+1=k^2/2^8
2^(n-8)+2^3=k^2/2^8-1
2^3(2^(n-11)+1)=(k/16+1)(k/16-1)
可得出以下方程:
2^3=k/16+or-1(1)
2^(n-11)+1=k/16-or+1(2)
=>2^(n-11)=5 or 2^(n-11)=9=>無整數解
2^2=k/16+or-1(1)
2*(2^(n-11)+1)=k/16-or+1(2)
=>2^(n-11)=0 or n=12 =>n=12
2=k/16+or-1(1)
2^2*(2^(n-11)+1)=k/16-or+1
=>2^(n-11)=-1 or 2^(n-11)=0=>無整數解
1=k/16+or-1
2^3*(2^(n-11)+1)=k/16-or+1
=>2^(n-11)=-7/8 or 2^(n-11)=-3/8=>無整數解
得n=12
(其實這題M.N.M大也發過類似的...如果記得的話也能算)

傲月光希

個人賽　第4題
11x+√3y=kx...(1)→(11-k)x+√3y=0
√3x+13y=ky...(2)→√3x+(13-k)y=0
x^2+y^2=1...(3)

By (1) and (2),we know that there is a solution (0,0).

Applying (3) to (1) and (2) gives that the system has more than one solution.

Using determinant,we know that ︱11-k  √3︱
　　　　　　　　　　　　　　　　　︱　　　　　︱=0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　︱√3  13-k︱
=>  (11-k)(13-k)-3=0
=>  143-24k+(k^2)-3=0
=>  (k-10)(k-14)=0

So the maximum of k is 14.