2006 TRML

傲月光希

個人賽 第3題
Since nm^2=14+n+m^2
1-n-m^2+nm^2=15
(1-m^2)(1-n)=15,

we have 1-m^2=±1 or ±3 or ±5 or ±15
-m^2=0 or -2 or 2(X) or -4 or -6 or 4(X) or 14(X) or -16.
m^2=0 or 2(X) or 4 or 6(X) or 16.
m=0 or ±2 or ±4.
Thus,(m,n)=(0,-14),(2,6),(-2,6),(4,2),(-4,2)

Therefore,the maximum of m+n is 8.

M.N.M.

個人賽7

已知三點為(0,-110) , (-11/2,0) , (10/3,0)

設在Y軸上的另一點為(0，a)
根據圓內冪性質
(11/2)*(10/3)=110a
=>a=1/6

傲月光希

原文由 M.N.M. 於 06-8-25 11:43 AM 發表
個人賽7

已知三點為(0,-110) , (-11/2,0) , (10/3,0)

設在Y軸上的另一點為(0，a)
根據圓內冪性質
(11/2)*(10/3)=110a
=>a=1/6

圓內冪性質是啥，我不太懂(謎：其實是你笨吧)

M.N.M.

原文由 傲月光希 於 06-8-25 11:46 AM 發表

圓內冪性質是啥，我不太懂(謎：其實是你笨吧)

在圓周上有4點A、B、C、D
任一兩點連線，而兩線段有交點時使用的
例如
A(0,-110) , B(-11/2,0) , C(10/3,0)

設在Y軸上的另一點為D(0，a)

而BC與AC交於K點

則BK*CK=AK*DK

而這題是剛好可用(0，0)做為交點算的

神光

原文由 M.N.M. 於 06-8-25 12:36 PM 發表

在圓周上有4點A、B、C、D
任一兩點連線，而兩線段有交點時使用的
例如
A(0,-110) , B(-11/2,0) , C(10/3,0)

設在Y軸上的另一點為D(0，a)

而BC與AC交於K� ...

Orz...
原來有這解法.
害我用圓方程解了大半天...

傲月光希

個人賽 第6題
2006x+y=4xy(x^2+y^2)......(1)
2006x-y=2xy(x^2-y^2)......(2)
(1)+(2)
=> 4012x=2xy[2(x^2+y^2)+(x^2-y^2)]
　　　　　=2xy(3x^2+y^2)
=> 2006=y(3x^2+y^2)=3yx^2+y^3......(3)
(1)-(2)
=> 2y=2xy[2(x^2+y^2)-(x^2-y^2)]
　　　=2xy(x^2+3y^2)
=> 1=x(x^2+3y^2)=x^3+3xy^2......(4)
(3)-(4)
=> 2005=(y^3-x^3)+3yx^2-3xy^2
　　　　=(y^3-x^3)-3xy(y-x)
　　　　=(y-x)(x^2+xy+y^2)-3xy(y-x)
　　　　=(y-x)(x^2-2xy+y^2)
　　　　=(y-x)(x-y)^2
　　　　=-(x-y)^3
=> x-y=-(2005)^(1/3)

傲月光希

個人賽 第8題
a+b+c+d+e=8 => a+b+c+d=8-e
a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16 => a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2

Using Cauchy-Schwarz Inquivality,we have
(a^2+b^2+c^2+d^2)(1^2+1^2+1^2+1^2)≧(a+b+c+d)^2
=> (16-e^2)*4≧(8-e)^2
=> 64-4e^2≧64-16e+e^2
=> -16e+5e^2≦0
=> e(5e-16)≦0
=> 0≦e≦16/5

Thus,the sum of the maximum and minimum of e is 0+16/5=16/5.

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-8-27 09:43 AM 編輯 ]

傲月光希

團體賽 第3題
設大圓半徑R，小圓半徑r，則
__
OO'=R-r=r-R+5
=> R-r=5/2...(1)
　　　__
r^2=(OO')^2+(R-3)^2
(1)
＝> (R-5/2)^2=25/4+(9-6R+R^2)
=> 25/4-5R+R^2=25/4+9-6R+R^2
=> -5R=9-6R
=> R=9...(2)
(2)
＝>r=R-5/2=9-5/2=13/2

R+r=9+13/2=31/2

傲月光希

個人賽 第7題
Since y=(3x-10)(2x+11)=6x^2+13x-110,the circle passes through A(0,-110),B(10/3,0),C(-11/2,0).

First,the the perpendicular bisector(中垂線) of line AB must pass the center of the circle,so the x-coordinate of the middle point of line AB must be the same as that of the circle center.

(10/3,0)+(-11/2,0)
------------------ =(-13/12,0).
　　　　2
Second,we set the fourth point passed through by the circle on the y-axis D(0,a).

The the perpendicular bisector of line AD must pass through the center,too.So the y-coordinate of the middle point is also the same as that of the center point.

(0.a)+(0,-110)
-------------- =(0,(a-110)/2).
　　　2
Thus,we have the center point of the circle (-13/12,(a-110)/2).

Let the radius be r.Then r^2=(-13/12-10/3)^2+[(a-110)/2-0]^2=(-13/12-0)^2+[(a-110)/2+110]^2
=> 2*(-13/12)*(-10/3)+(10/3)^2=2*110*[(a-110)/2]+110^2
=> 65/9+100/9=110a-110^2+110^2
=> 110a=165/9
=> a=(165/9)*(1/110)=1/6

Therefore,the fourth point is (0,1/6).

太公望

個人賽第3回第I-5
2cotX=3cot(45-X)
2cosX/sinX=3(cos45cosX+sin45sinX/sin45cosX-cos45sinX)
2cosX/sinX=3(cosX+sinX/cosX-sinX)
2cosX^2-2sinXcosX=3cosXsinX+3sinX^2
2cosX^2-5sinXcosX-3sinX^2=0
(2cosX+sinX)*(cosX-3sinX)=0
cosX=3sinXor-1/2sinX
X<90
cosX=3sinX cotX=3
ABC=5*3/2=15/2