完全平方數

M.N.M.

若a是整數b的平方數，則a完全平方數

性質1:完全平方數的末位數只能是0，1，4，5，6，9
證:
設數字型式為
10k、10k+1、10k+2、10k+3、10k+4、10k+5、10k+6、10k+7、10k+8、10k+9
(k為0 or 正整數)
(10k+6)^2與(10k+4)^2的個位數相同
(10k+7)^2與(10k+3)^2的個位數相同
(10k+8)^2與(10k+2)^2的個位數相同
(10k+9)^2與(10k+1)^2的個位數相同
所以只需知算10k、10k+1、10k+2、10k+3、10k+4、10k+5

(10k)^2=100k^2
得知個位數為0......(1)

(10k+1)^2=(100k^2)+20k+1
得知個位數為1......(2)

(10k+2)^2=(100k^2)+40k+4
得知個位數為4......(3)

(10k+3)^2=(100k^2)+60k+9
得知個位數為9......(4)

(10k+4)^2=(100k^2)+80k+16
得知個位數為6......(5)

(10k+5)^2=(100k^2)+100k+25
得知個位數為5......(6)

由(1)(2)(3)(4)(5)(6)得知完全平方數的末位數只能是0，1，4，5，6，9

故得證


性質2:完全平方數的末位數不能是2，3，7，8

證法同性質1


性質3:奇數的平方數，十位數必為偶數
證:
設奇數為10k+1、10k+3、10k+5、10k+7、10k+9(k為0 or 正整數)

(10k+1)^2=(100k^2)+20k+1=20k(5k+1)+1......(1)

(10k+3)^2=(100k^2)+60k+9=20k(5k+3)+9......(2)

(10k+5)^2=(100k^2)+100k+25=(100k^2)+100k+20+5=20(5k^2+5k+1)+5......(3)

(10k+7)^2=(100k^2)+140k+49=(100k^2)+140k+40+9=20(5k^2+7k+2)+9......(4)

(10k+9)^2=(100k^2)+180k+81=(100k^2)+180k+80+1=20(5k^2+9k+4)+1......(5)

由(1)(2)(3)(4)(5)得知奇數的平方數，十位數必為偶數

故得證


性質4:如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數
證:
設a^2=10k+6，能夠使平方數個位數為6，a的個位必為4或6
設a=10t+4 or 10t+6

當10k+6=(10t+4)^2時
=>10k+6=100t^2+80t+16=100t^2+10(8t+1)+6
=>k=10t^2+8t+1
所以k為奇數

當10k+6=(10t+6)^2時
=>10k+6=100t^2+120t+36=100t^2+10(12t+3)+6
=>k=10t^2+12t+3
所以k為奇數

由以上結論得知命題成立

故得證


性質5:偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1
證:
設數字型式為偶數2k，奇數2k+1

(2k)^2=4k^2

(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1

由以上結論得知命題成立

故得證


性質6:奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型
證:
設數字型式為偶數2k，奇數2k+1

(2k)^2=4k^2
令k=2t or 2t+1

當k=2t時，(2*2t)^2=16t^2=8t*2t

當k=2t+1，[2*(2t+1)]^2=16n^2+16t+4=8(2t^2+t)+4

以上推論得知偶數的平方為8n或8n+4型

(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1=4k(k+1)+1，又2│k(k+1)

所以奇數的平方是8n+1型

故得證


性質7:平方數必為3n或3n+1型
證
將數字分三類:3k，3k+1，3k+2

(3k)^2=9k^2=3(3k^2)

(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1

(3k+2)^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1=3(3k^2+4k+1)+1

所以平方數必為3n或3n+1型

故得證


性質8:平方數必為5n、5n+1、5n+4型
證:
將數字分為5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4

(5k^2)=25k^2=5*(5k^2)

(5k+1)^2=25k^2+10k+1=5(5k^2+2k)+1

(5k+2)^2=25k^2+20k+4=5(5k^2+4k)+4

(5k+3)^2=25k^2+30k+9=5(5k^2+6k+1)+4

(5k+4)^2=25k^2+40k+16=5(5k^2+8k+3)+1

由以上結論得知命題成立

故得證

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-8-27 11:54 AM 編輯 ]