挑戰54

M.N.M.

1.若多項式A除以(x-b)(x-c)、(x-c)(x-a)、(x-a)(x-b)的餘式分別為3x-1、x+1、2x+3，
則多項式A除以(x-a)(x-b)(x-c)的餘式為___________

2.設a、b、c、d、e、f、g皆為實數
若
abcdefg=1
a-bcdefg=1
ab-cdefg=1
abc-defg=1
abcd-efg=1
abcde-fg=1
abcdef-g=1
則a+g之值為________

神光

原文由 M.N.M. 於 06-9-3 04:04 PM 發表
1.若多項式A除以(x-b)(x-c)、(x-c)(x-a)、(x-a)(x-b)的餘式分別為3x-1、x+1、2x+3，
則多項式A除以(x-a)(x-b)(x-c)的餘式為___________

設A=f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+px^2+qx+r
f(a)=a+1=2a+3=pa^2+qa+r
f(b)=3b-1=2b+3=pb^2+qb+r
f(c)=3c-1=c+1=pc^2+qc+r

a=-2 , b=4 , c=1
4p-2q+r=-1 ---(1)
16p+4q+r=11 ---(2)
p+q+r=2 ---(3)
由(1),(2),(3)得出r=-1-4p+2q=11-16p-4q=2-p-q

-1-4p+2q=11-16p-4q
2p+q=2 ---(4)

11-16p-4q=2-p-q
5p+q=3 ---(5)

-1-4p+2q=2-p-q
p-q=-1 ---(6)

由上列各式得出p=1/3 , q=4/3 , r=1/3
∴A除以(x-a)(x-b)(x-c)的餘式為1/3x^2+4/3x+1/3

[ 本文最後由 神光 於 06-9-3 06:12 PM 編輯 ]

M.N.M.

原文由 神光 於 06-9-3 05:45 PM 發表
A除以(x-a)(x-b)(x-c)的餘式為1/3x^2+4/3x+1/3=x^2+4x+1

這樣的表示怪怪的
1/3x^2+4/3x+1/3不等於x^2+4x+1

神光

原文由 M.N.M. 於 06-9-3 06:04 PM 發表

這樣的表示怪怪的
1/3x^2+4/3x+1/3不等於x^2+4x+1

習慣了解方程,不自覺的乘上了3...

hydralisk

我解第2題

取第二項
和最後一項
相減

==>a-bcdefg-(abcdef-g)=0

==>a(1-bcdef)+g(1-bcdef)=0

==>(a+g)(1-bcdef)=0

==>a+g=0  OR  bcdef=1
討論
(1)若a+g=0
即為解
(2)
若bcdef=1
則
a-g=1------(代入第二項)
ag=1-------(代入第一項)

解得
a+g=√5 OR -√5

[ 本文最後由 hydralisk 於 06-9-3 08:52 PM 編輯 ]

神光

原文由 hydralisk 於 06-9-3 06:20 PM 發表
若bcdef=1
則
a-g=0------(代入第二項)
ag=1-------(代入第一項)

a-g應該是等於1
(a-bcdefg=1 , bcdef=1)

hydralisk

不好意思
打太快

已經修改了

傲月光希

原文由 M.N.M. 於 06-9-3 04:04 PM 發表
2.設a、b、c、d、e、f、g皆為實數
若
abcdefg=1
a-bcdefg=1
ab-cdefg=1
abc-defg=1
abcd-efg=1
abcde-fg=1
abcdef-g=1
則a+g之值為________

由第一式知bcdefg=1/a，將其代入第二式得a-1/a=1=>a^2-a-1=0=>a=(1±√5)/2...(1)
由第一式知abcdef=1/g，將其代入第七式得1/g-g=1=>g^2+g-1=0=>g=(-1±√5)/2...(2)

由(1)(2)知a+g有四種可能

a+g=(1+√5)/2+(-1+√5)/2=√5
or　=(1+√5)/2+(-1-√5)/2=0
or　=(1-√5)/2+(-1+√5)/2=0
or　=(1-√5)/2+(-1-√5)/2=-√5

因此a+g=0 or ±√5