高、國中數學解題2

傲月光希

1.高中
求f(x)=x^1999 -1除以x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1的餘式。

2.國中
一個1994位的正整數A，A的各個數位上的數字都是3。今將A除以13。問：餘數是多少？商的第200位（由左往右數）數字為多少？商的個位數字是多少？

傲月光希

原文由 xvmon123 於 06-9-6 09:10 PM 發表
在下來試試看
1.
x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1分解為(X+1)(X^3+2X+1)
設f(x)=x^1999 -1=(x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1)q(X)+r(X)
                       =(X+1)(X^3+2X+1)q(X)+r(X)
當X=-1帶入  得f ...

不對喔，再加油XD

hydralisk

我當初也是這樣子做的
不過要代
三個虛根進去算
就懶了....囧

米爾修

2.
已知333333可被13整除(333333=13*25641)
又A數有1994位=6*332+2位
(即332個"333333"後加兩位3)
則A數/13的餘數相當於33/13的餘數=7

由第一行知商=256410256410..... 歸納後知 商之(200=6*33+2)位數=5

最後只需考慮33與13的關係(33=2*13+7)
知商的個位數=2

哇係CA

令f(x)=x^1999 -1=(x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1)q(x)+ax^3+bx^2+cx+d

其中x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1=(x^2+1)(x^2+x+1)=(x-i)(x+i){x+[-1+(3^1/2)i]/2}{x-[-1-(3^1/2)i]/2}

所以f(x)=x^1999 -1=(x-i)(x+i){x+[-1+(3^1/2)i]/2}{x-[-1-(3^1/2)i]/2}q(x)+ax^3+bx^2+cx+d

x=i代入

f(i)=-i-1=-ai-b+ci+d

所以a-c=1......(1)
b-d=1......(2)

x=[-1+(3^1/2)i]/2代入

f([-1+(3^1/2)i]/2)=[-3+(3^1/2)i]/2=a+{[-1-(3^1/2)i]/2}b+{[-1+(3^1/2)i]/2}c+d

所以-b+c=1......(3)
2a-b-c+2d=-3......(4)

由(1)(2)(3)(4)解得
a=0
b=-2
c=-1
d=-3

所以餘式為-2x^2-x-3