數學試題

太公望

1.正九邊形相異對角線呈等差，求滿足邊長之最小值為?

2.a.b.c為正實數 abc=1 試證1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(b+a)>=3/2

3.f(x)為嚴格遞增函數 f(f(x)+1/(x-1))=f(x) 求f(1)=?

M.N.M.

2.36屆IMO的題目
有一個公式就是，當a>0時，
a^2+b^2≧2ab
=>(b^2)/a≧2kb-(k^2)a(k不等於0)

這題取k=1/2
1/a^3(b+c)=(bc)^2/a(b+c)≧bc-[a(b+c)/4]
同理1/b^3(a+c)≧ca-[b(c+a)/4]，1/c^3(a+b)≧ab-[c(a+b)/4]

bc-[a(b+c)/4]+ca-[b(c+a)/4]+ab-[c(a+b)/4]=(1/2)(a+b+c)≧(3/2)[(abc)^2之立方根]
=3/2

傲月光希

樓主，你確定第三題的題目沒有問題嗎?照你題目來看，f(1)=f(f(1)+1/0)了

太公望

不確定，有點忘記了，可能是1/x
不過前兩題都沒記錯

傲月光希

我有問奇摩知識，有一個人回答我「正確題目應該是 f : R^+ 映至 R 是一個嚴格遞增函數且
f(x) * f(f(x) + 1/x) = 1 對所有定義域上的 x 成立，求 f(1)」

太公望

恩...感謝...好像真的是這樣
不過我還是不會寫@@~

傲月光希

解法：
因為 f(x) * f(f(x) + 1/x) = 1 對所有 x 大於零成立,
故 f(x) + 1/x 必大於零. x 以 f(x) + 1/x 代入得

[1/f(x)] * f( 1/f(x) + 1/[f(x) + 1/x] ) = 1

故 f( 1/f(x) + 1/[f(x) + 1/x] ) = f(x)

即 1/f(x) + 1/[f(x) + 1/x] = x

令 f(x) = y 解此方程

2y + 1/x = xy(y + 1/x)

(x^2)y^2 - xy - 1 = 0

y = [1 + (5)^(1/2)]/(2x) , [1 - (5)^(1/2)]/(2x)

因為 y 是嚴格遞增故 y = f(x) = [1 - (5)^(1/2)]/(2x),
f(1) = [1 - (5)^(1/2)]/2

jojohunter

上面這位大大的解法真是太神奇了!
我光看這解法都花了不少的時間.
了不起!

傲月光希

原文由 jojohunter 於 06-9-21 03:18 AM 發表
上面這位大大的解法真是太神奇了!
我光看這解法都花了不少的時間.
了不起!

這不是我解的 這是我去奇摩知識看來的= =