挑戰56

M.N.M.

1.m為什麼整數時，9(m^2)+5m+26能分解成兩個連續自然數的積

2.設f(x)為三次式，若f(1991)=2，f(1992)=8，f(1993)=9，f(1994)=6，則f(1995)之值為?

飛翔狂斬

挑簡單的來做哈
{2}
設f{x}為a{x-1991}{x-1992}{x-1993}+b{x-1991}{x-1992}+c{x-1991}+d
把 1991帶入f{x} 得到   d=2
   1992帶入f{x} 得到   c=6
   1993帶入f{x} 得到    b=-5/2
   1994帶入f{x} 得到    a=1/6
   1995帶入f{x} 得到    0
  結束

傲月光希

原文由 M.N.M. 於 06-9-9 05:33 PM 發表
1.m為什麼整數時，9(m^2)+5m+26能分解成兩個連續自然數的積

原式=9(m^2)+5m-4+30=(9m-4)(m+1)+30

由此可知當m=-1時，原式=30=6*5

我是不知道答案有幾組，所以不對請M大指教

M.N.M.

[解答]
1.設自然數k>=2，則9m^2+5m+26=k(k-1)

=>9m^2+5m-(k^2-k-26)=0......(1)

因為m是整數，所以判別式必是完全平方數

D=25+36(k^2-k-26)=36k^2-36k-911=p^2(p為自然數)

=>36k^2-36k-(p^2+911)=0......(2)

因為k為自然數，所以判別式為完全平方數

D=36^2+4*36(p^2+911)=12(p^2+920)=q^2(q為自然數)

(q+p)(q-p)=920

q+p與q-p同奇偶

q+p=460，q-p=2
=>p=229，q=231代入(2)
=>k=39，-38(-38不合)代入(1)
=>m=-13，112/9(112/9不合)

q+p=230，q-p=4
=>p=113，q=117代入(2)
=>k=-19(不合)，20代入(1)
=>m=-59/9，6(-59/9不合)

q+p=92，q-p=10
=>p=41，q=51代入(2)
=>k=-8，9(-8不合)代入(1)
=>m=-23/9(不合)，2

q+p=46，q-p=20
=>p=13，q=33代入(2)
=>k=-5，6(-5不合)代入(1)
=>m=-1，9/4(9/4不合)

所以m=-1，2，6，-13


(2)飛翔狂斬已解出