問題

小PK

設n為自然數
n*n+6n+26為完全平方數
試問N值

aeoexe

在n*n(即是n^2)+6n+26,
好像不可能...
因為這題的判定式是<0......
判定式:在ax^2+bx+c,判定式為b^2-4ac

[ 本文最後由 aeoexe 於 06-9-13 09:49 PM 編輯 ]

M.N.M.

設n^2+6n+26=k^2(k為自然數)

=>(n^2)+6n+9+17=k^2

=>(n+3)^2+17=k^2

=>17=(k^2)-(n+3)^2

=>17=(k+n+3)(k-n-3)

顯然
k+n+3=17......(1)

k-n-3=1......(2)

由(1)(2)=>k=9，n=5

所以n=5時n^2+6n+26為完全平方數

由過程得知這是正整數的唯一解

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-9-16 05:08 PM 編輯 ]

小沝

原文由 M.N.M. 於 06-9-16 09:11 AM 發表
k+m+3=17......(1)

k-m-3=1......(2)

補充：

此處亦可能為

k+m+3=1.......(1)

k-m-3=17......(2)

由(1)(2)得　K=9 , m=-11

所以有兩種解。

原文由 aeoexe 於 06-9-13 09:48 PM 發表
在n*n(即是n^2)+6n+26,
好像不可能...
因為這題的判定式是<0......
判定式:在ax^2+bx+c,判定式為b^2-4ac

判定式好像是用來判定解為兩相異實數、兩相同實數、虛數（國中稱無解）的吧？

並不適用此題。

[ 本文最後由 小沝 於 06-9-16 04:48 PM 編輯 ]

M.N.M.

原文由 小沝 於 06-9-16 04:43 PM 發表


補充：

此處亦可能為

k+m+3=1.......(1)

k-m-3=17......(2)

由(1)(2)得　K=9 , m=-11

所以有兩種解。

由於題目提到只能n為正整數
不小心把n看成m(眾毆)
沒提到得話最多會有4解
另外兩解是
k+n+3=-17
k-n-3=-1
=>k=-9，n=-11

k+n+3=-1
k-n-3=-17
=>k=-9，n=5

在下一開始沒想到這麼多可能性是失誤(泣

還好只有5這個解而已(汗

[quote=小沝]在n*n(即是n^2)+6n+26,
好像不可能...
因為這題的判定式是<0......
判定式:在ax^2+bx+c,判定式為b^2-4ac [/quote]
判別式只能適用於"方程式"上

而此題只是多項式，所以不能用判別式

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-9-16 05:13 PM 編輯 ]

小沝

原文由 M.N.M. 於 06-9-16 05:05 PM 發表

由於題目提到只能n為正整數

噢？

自然數是正整數嘛？

我忘掉了　（傻

感謝糾正。