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小PK

(1)設n為自然數,若p= n^4-38n^2+169為質數,試求 n值,此時質數p多少?
(2)設a,b,c為自然數,若以11除a,b,c其餘數分別為3,4,5
則以11除a+b+c及a*b*c  其餘數為多少?
(3)設a,b為自然數,以7除a之餘數為2,以7除a^2+2b之餘數為5
則以7除b之餘數為多少?

傲月光希

原文由 小PK 於 06-9-17 10:06 PM 發表
(1)設n為自然數,若p= n^4-38n^2+169為質數,試求 n值,此時質數p多少?
(2)設a,b,c為自然數,若以11除a,b,c其餘數分別為3,4,5
則以11除a+b+c及a*b*c  其餘數為多少?
(3)設a,b為自然數,以7除a之餘數為2,以7除a^2+2b之餘數為5
則以7除b之餘數為多少?

(1)p=n^4-38n^2+169=(n^4+26n^2+169)-64n^2=(n^2+13)^2-(8n)^2=(n^2+8n+13)(n^2-8n+13)

若p為質數，則它的因數只有1跟它本身，所以n^2+8n+13=1或n^2-8n+13=1
=> n^2+8n+12=0,n^2-8n+12=0
=> (n+6)(n+2)=0,(n-6)(n-2)=0
=> n=-6,-2,2,6(負不合)
=> n=2,6 => n^2-8n+13=1

n=2 => p=(2^2+8*2+13)*1=2+16+13=31
n=6 => p=(6^2+8*6+13)*1=36+48+13=97

因此當n=2或6時，p=31或97
(2)令a=11k+3,b=11m+4,c=11n+5, k,m,n是自然數
a+b+c=(11k+3)+(11m+4)+(11n+5)=11(k+m+n)+12=11(k+m+n)+11+1=11(1+k+m+n)+1......餘1

a*b*c÷11≡(11k+3)(11m+4)(11n+5)÷11≡3*4*5÷11≡60÷11≡5......餘5
(3)令a=7m+2,b=7n+r 其中m,n,r屬於自然數，0≦r<7
=> a^2+2b÷7≡[(7m+2)^2+2(7n+r)]÷7≡(4+2r)÷7≡5
=> 7|(4+2r)-5=2r-1
=> 2r-1=7,14,21,...,7k k是自然數
=>2r=8,15,22,...
=>r=4,15/2,11,...
=>r=4 (因為0≦r<7)

M.N.M.

非同餘解法

(2)

a*b*c=[(11k+3)(11m+4)](11n+5)

=(11k*11m*44k+33m+12)(11n+5)

=[11(11km+4k+3m)+12](11n+5)

=(11h+12)(11n+5)......h=11km+4k+3m

=11h*11n+55h+12*11n+60

=11(11hn+5h+12n)+55+5

=11(11hn+5h+12n+5)+5

所以餘數為5

(3)
令a=7m+2,b=7n+r 其中m,n,r屬於自然數，0≦r<7
a^2+2b=(7m+2)^2+2(7n+r)

=49m^2+28m+4+14n+2r

=7(7m^2+4m+2n)+(4+2r)

4+2r得餘數必須為5
r=1時
4+2=6(不合)

r=2時
4+4=8=7+1
餘1(不合)

r=3時
4+2*3=10=7+3
餘3(不合)

r=4時
4+2*4=12=7+5
餘5(合)

r=5時
4+2*5=14
整除

r=6時
4+2*6=16=14+2
餘2(不合)

由以上得知r=4

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-9-18 07:33 PM 編輯 ]

小PK

原文由 M.N.M. 於 06-9-18 07:10 PM 發表
非同餘解法

(2)

a*b*c=(11n+5)

=(11k*11m*44k+33m+12)(11n+5)

=(11n+5)

=(11h+12)(11n+5)......h=11km+4k+3m

=11h*11n+55h+12*11n+60

=11(11hn+5h+12n)+55+5

=11(11hn+5h+12n+5)+5
...

什麼是同於解法
那怎麼還有一個像等於的東西
請你告訴我好嗎?
謝謝

小PK

原文由 傲月光希 於 06-9-18 12:17 PM 發表

(1)p=n^4-38n^2+169=(n^4+26n^2+169)-64n^2=(n^2+13)^2-(8n)^2=(n^2+8n+13)(n^2-8n+13)

若p為質數，則它的因數只有1跟它本身，所以n^2+8n+13=1或n^2-8n+13=1
=> n^2+8n+12=0,n^2-8n ...

(4+2r)÷7≡5
為什麼會≡5???????

傲月光希

原文由 小PK 於 06-9-18 08:05 PM 發表

(4+2r)÷7≡5
為什麼會≡5???????

因為你的a^2+2b除以7餘5啊
所以4+2r除以7會餘5啊(≡ -> 同餘符號)