問題和討論

小PK

(1)設2正整數,期和為144,最大公因數,試求2正整數分別為
(2)設a,b為自然數,若[a,b]=312,a*b=4056,試問a+b
(3)設a=36,b=45,及自然數c若(a,b,c)=9,[a,b,c]=1260
試問c值
(4)若a,b為整數且(611,235)=611a+235b
求a+b的最大負整數
(5)設n為自然數,√4n^2-119為自然數,試求n值
(6)設n=2^2*3^3*7^2,試求
1.n的正因數中為完全平方數有幾個
期和為多少
2.n的正因數為3的倍數,但不為7的倍數,有幾個

傲月光希

(1)設2正整數,期和為144,最大公因數,試求2正整數分別為
(2)設a,b為自然數,若[a,b]=312,a*b=4056,試問a+b
(3)設a=36,b=45,及自然數c若(a,b,c)=9,[a,b,c]=1260
試問c值
(4)若a,b為整數且(611,235)=611a+235b
求a+b的最大負整數
(5)設n為自然數,√4n^2-119為自然數,試求n值
(6)設n=2^2*3^3*7^2,試求
1.n的正因數中為完全平方數有幾個
期和為多少
2.n的正因數為3的倍數,但不為7的倍數,有幾個

(1)題目請打清楚

(2)設(a,b)=d滿足a=ds,b=dt，(s,t)=1
則[a,b]=dst=312，a*b=ddst=4056
=> d=4056/312=13
由此可知st=312/13=24
所以(s,t)=(1,24)=(2,12)=(3,8)=(4,6) (注意，這裡是數對)
其中(2,12)=2 (4,6)=2 (注意，這裡是最大公因數)
所以(s,t)只能是(1,24)或(3,8)
a+b=d(s+t)=13*(1+24)=13*25=325
或　　　　　=13*(3+8)=13*11=143

(3)
a=36=9*4 b=45=9*5
設c=9x，其中(4,5,x)=1
則[a,b,c]=9*4*5*x=1260
=> x=7
因此c=9*7=63

(4)(611,235)=611a+235b=47
=> 13a+5b=1
=> 5(a+b)=1-8a
=> k=a+b=(1-8a)/5
則(a,k)=(1,-7/5),(2,-3),(3,-23/5),...
所以a+b的最大負整數為-3

(5)你題目應該是,√(4n^2-119)吧
設,√(4n^2-119)=k，k屬於自然數
=> 4n^2-119=k^2
=> (2n+k)(2n-k)=119
則有四種情況，如下:
1.2n+k=1......(a)
　2n-k=119......(b)
(a)+(b)=> 4n=120 => n=30
=> k=1-2n=1-60=-59(不合)

2.2n+k=119...(a)
　2n-k=1...(b)
(a)+(b)=> 4n=120 => n=30
=> k=2n-1=60-1=59
=> (n,k)=(30,59)

3.2n+k=7...(a)
　2n-k=17...(b)
(a)+(b)=> 4n=24 => n=6
=> k=7-2n=-5(不合)

4.2n+k=17...(a)
　2n-k=7...(b)
(a)+(b)=> 4n=24 => n=6
=> k=2n-7=5
=>(n,k)=(6,5)

因此當n=30跟6時,√(4n^2-119)分別為59跟5

(6)
1.要求完全平方數，則必須是2^0,2^2,3^0,3^2,7^0,7^2的倍數
因此有2*2*2=8種選擇
完全平方數總和=(2^0+2^2)(3^0+3^2)(7^0+7^2)=(1+4)(1+9)(1+49)=5*10*50=2500
2.要求是3的倍數但不為7的倍數，並沒說是否為2的倍數，則必須是2^0,2^1,2^2,3^0,3^1,3^2,3^3,7^0這些因數的倍數組合
因此有3*4*1=12種選擇

小PK

原文由 傲月光希 於 06-9-20 10:36 PM 發表

(1)題目請打清楚

(2)設(a,b)=d滿足a=ds,b=dt，(s,t)=1
則=dst=312，a*b=ddst=4056
=> d=4056/312=13
由此可知st=312/13=24
所以(s,t)=(1,24)=(2,12)=(3,8)=(4,6) (注意，這裡栮..

真抱歉!我這就重打
(1)設m,n,自然數,m+n=144,(m,n)=24試求m,n分別為多少

傲月光希

原文由 小PK 於 06-9-21 09:07 PM 發表

真抱歉!我這就重打
(1)設m,n,自然數,m+n=144,(m,n)=24試求m,n分別為多少

已知m,n的最大公因數，設m=24h,n=24k滿足(h,k)=1
則m+n=24(h+k)=144
=> h+k=6
=> (h,k)=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，其中(1,5)=1,(2,4)=2,(3,3)=3
則(m,n)=(24,120)或(120,24)